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[答543] 円錐の体積の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答543] 円錐の体積の最大値


 母線の長さが 9 である直円錐の体積V の最大値は?


[解答1]

 底面の半径を r 、高さを h とすれば、三平方の定理により、r2+h2=81 です。

 V=(π/3)r2h=(π/3)(81-h2)h=(π/3)(81h-h3) 、

 V'=(π/3)(81-3h2)=π(27-h2) だから、

 0<h<3√3 のとき V'>0 ,3√3<h<9 のとき V'<0 となって、h=3√3 のとき V は最大で、

 このとき、V=(π/3)(81-h2)h=(π/3)(81-27)・3√3=(54√3)π です。


[解答2]

 底面の半径を r 、高さを h とすれば、V=πr2h/3 、r2h=3V/π です。

 三平方の定理により、r2+h2=81 、r2+r2+2h2=162 で、

 相加・相乗平均の関係により、 3√(r2・r2・2h2)≦(r2+r2+2h2)/3 、

 3乗して r2・r2・2h2≦543 、 r2・r2・h2≦542・27 、 r2・h≦54・3√3 、

 V=(π/3)r2h≦(54√3)π になり、Vの最大値は (54√3)π です。

 等号が成り立つのは、r2=2h2=54 のときで、r=3√6,h=3√3 のときです。

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Comments 20

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古い人  
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うわーー紅梅に雪がかかり寒そうですね。

せっかく咲いた紅梅が可哀想です。
ナイス。

アキチャン  
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おはようございます。
冷たそうf(^。^;
こんな日が、そちらにもあったのですね!!
こちらでも毎日寒い日が続いています。
早く 暖かくなってほしいですね(o^-^o)ナイス!

樹☆  
No title

おはようございます。
やどかり地方は雪ですか?
ほんのり覆ったゆきがまた
いっそう紅梅がうつくしく見えます。ナイス

tsuyoshik1942  
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「解答2」の手法が必ずあるはずと、何度か試みたのですが、だめでした。
類題、歓迎です、次はリベンジを期します。
もっとも、本問のような問題に対し、真っ当な微積分の計算で取り組めるようになったのは、自分にとっては、ここのところの大きな進歩であり、うれしく思っております。

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

寒そう・・・でも風情があって綺麗ですよ゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
今週の土日・・・錦織公園の「梅まつり」 に行って来ます♪
咲いてたら良いのですがね☆

ナイス!☆

こっこちゃん  
No title

おはようございます

昨日は みなさん寒い一日でしたね
こちらも冷たい雨の一日でした

梅の花 冷たい雪に耐えて健気ですねナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
√3の出所が気になってたのですが...相加相乗だったのね☆
巧い変形...いまだ使い切れない ^^; Orz~

uch*n*an  
No title

これは,比較的容易な問題でした。
私の解法は二つ。
表現の仕方は多少違いますが,(解法1)が[解答1],(解法2)が[解答2]でした。

ニリンソウ  
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今朝ですかー
ここもまさかの雪になりました大雪です(5センチはあるかな) 梅のつぼみも固く閉じたようです

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
紅梅に雪が積もり重そうですね
こちらでは雪を見ることがほとんどないのでこんな光景は見ることは出来ません
不謹慎ですがこんな雪景色 偶には見てみたいです
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
可哀そうですが、風情もあります。
これに耐えられるから桜より早く咲くのでしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
昨日の朝、久しぶりに少しだけ雪が積もりました。
早く暖かくなってほしいのは、私も同じ思いです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
昨日の朝に少しだけ雪が積もり、通勤途中に撮りました。
白梅もありましたが、雪には紅梅が綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
リベンジ出来るような問題も考えますね。
ただ、忘れたころに出題することになると思いますが……。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
昨日は少し雪が積もりましたね。
錦織公園の梅ですが、少し高い所にありますので、例年、他より遅いようです。
本当に咲いていればいいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ほとんど降らない雪が、昨日は少し積もってすぐ融けました。
梅の花は、寒くても耐えられるのですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
また、こんな問題も出題することになると思いますが、
そのときは旨い式変形をお願いします。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
貴殿を含め何人かには易しかったと思います。
けっこう楽しんで下さるかたもおられますので、
ときどきこの程度の問題を出したいと思っています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
冬型の気圧配置になり、新潟ではまた雪が降っているようですね。
こちらでは、冬型は乾燥し、ほとんど雪がありません。
昨日、珍しく降りましたので、梅の花をカメラに収めました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
こちらでも雪景色はほとんど見られません。見られない年も多いです。
きのうは珍しく少し積もりましたが、すぐ融けました。