[答543] 円錐の体積の最大値
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[答543] 円錐の体積の最大値
母線の長さが 9 である直円錐の体積V の最大値は?
[解答1]
底面の半径を r 、高さを h とすれば、三平方の定理により、r2+h2=81 です。
V=(π/3)r2h=(π/3)(81-h2)h=(π/3)(81h-h3) 、
V'=(π/3)(81-3h2)=π(27-h2) だから、
0<h<3√3 のとき V'>0 ,3√3<h<9 のとき V'<0 となって、h=3√3 のとき V は最大で、
このとき、V=(π/3)(81-h2)h=(π/3)(81-27)・3√3=(54√3)π です。
[解答2]
底面の半径を r 、高さを h とすれば、V=πr2h/3 、r2h=3V/π です。
三平方の定理により、r2+h2=81 、r2+r2+2h2=162 で、
相加・相乗平均の関係により、 3√(r2・r2・2h2)≦(r2+r2+2h2)/3 、
3乗して r2・r2・2h2≦543 、 r2・r2・h2≦542・27 、 r2・h≦54・3√3 、
V=(π/3)r2h≦(54√3)π になり、Vの最大値は (54√3)π です。
等号が成り立つのは、r2=2h2=54 のときで、r=3√6,h=3√3 のときです。
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