[答543] 円錐の体積の最大値

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[答543] 円錐の体積の最大値


　母線の長さが 9 である直円錐の体積V の最大値は？


[解答1]

　底面の半径を r 、高さを h とすれば、三平方の定理により、r²＋h²＝81 です。

　V＝(π/3)r²h＝(π/3)(81－h²)h＝(π/3)(81h－h³) 、

　V'＝(π/3)(81－3h²)＝π(27－h²) だから、

　0＜h＜3√3 のとき V'＞0 ，3√3＜h＜9 のとき V'＜0 となって、h＝3√3 のとき V は最大で、

　このとき、V＝(π/3)(81－h²)h＝(π/3)(81－27)･3√3＝(54√3)π です。


[解答2]

　底面の半径を r 、高さを h とすれば、V＝πr²h/3 、r²h＝3V/π です。

　三平方の定理により、r²＋h²＝81 、r²＋r²＋2h²＝162 で、

　相加･相乗平均の関係により、 ³√(r²･r²･2h²)≦(r²＋r²＋2h²)/3 、

　３乗して r²･r²･2h²≦54³ 、 r²･r²･h²≦54²･27 、 r²･h≦54･3√3 、

　V＝(π/3)r²h≦(54√3)π になり、Vの最大値は (54√3)π です。

　等号が成り立つのは、r²＝2h²＝54 のときで、r＝3√6，h＝3√3 のときです。

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