[答544] 繰り上がりのない足し算
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[答544] 繰り上がりのない足し算
a,b はともに3桁の自然数で、a<b とします。
a+b を筆算で計算するとき全ての位で繰り上がりがない(a,b)は何通り? 当然 a+b<1000 です。
[解答]
まず、a<b の条件をはずして考えます。
a,b の百の位,十の位,一の位それぞれの和は、その位の2数の和≦9 です。
ここで、[ 0 ◆ 1 ◆ 2 ◆ 3 ◆ 4 ◆ 5 ◆ 6 ◆ 7 ◆ 8 ◆ 9 ]から2個の数を選ぶ方法を考えます。
小さい数の前の◆の個数と 小さい数と大きい数の間の◆の個数の和は 9以下だから、
百の位は自然数だから 1~9 から2個の数を重複なく選ぶ方法で、9C2=36 通り、
十の位,一の位は0を使えるから 0~9 から重複を許して選ぶ方法で、10H2=55 通りあります。
従って、全部で 36・552 通りです。
そのうち、a=b の場合は、百の位は 1,2,3,4 で、十の位,一の位は 0,1,2,3,4 だから、 4・52 通りです。
a<b,a>b の場合は同数あるから、a<b の場合は、(36・552-4・52)/2=54400 通りになります。
☆ 各桁 1/2 の確率で繰り上がらないと仮定して概算すれば 900C2/23≒50569 です。
☆ n桁の場合は、(36・55n-1-4・5n-1)/2=2・5n-1(9・11n-1-1) です。
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