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[答544] 繰り上がりのない足し算

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答544] 繰り上がりのない足し算


 a,b はともに3桁の自然数で、a<b とします。

 a+b を筆算で計算するとき全ての位で繰り上がりがない(a,b)は何通り? 当然 a+b<1000 です。


[解答]

 まず、a<b の条件をはずして考えます。

 a,b の百の位,十の位,一の位それぞれの和は、その位の2数の和≦9 です。

 ここで、[ 0 ◆ 1 ◆ 2 ◆ 3 ◆ 4 ◆ 5 ◆ 6 ◆ 7 ◆ 8 ◆ 9 ]から2個の数を選ぶ方法を考えます。

 小さい数の前の◆の個数と 小さい数と大きい数の間の◆の個数の和は 9以下だから、

 百の位は自然数だから 1~9 から2個の数を重複なく選ぶ方法で、92=36 通り、

 十の位,一の位は0を使えるから 0~9 から重複を許して選ぶ方法で、102=55 通りあります。

 従って、全部で 36・552 通りです。

 そのうち、a=b の場合は、百の位は 1,2,3,4 で、十の位,一の位は 0,1,2,3,4 だから、 4・52 通りです。

 a<b,a>b の場合は同数あるから、a<b の場合は、(36・552-4・52)/2=54400 通りになります。


☆ 各桁 1/2 の確率で繰り上がらないと仮定して概算すれば 9002/23≒50569 です。


☆ n桁の場合は、(36・55n-1-4・5n-1)/2=2・5n-1(9・11n-1-1) です。

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

後半部分は、解答と同じく、「(36*55*55-4*5*5)/2」でした。
ただし、36および55の算出は(1+2+...8)および(1+2...+10)でした。
9C2 および 10H2 は、お二人のやりとりを拝見しても、なお未消化です。

こっこちゃん  
No title

おはようございます

可愛い梅がほころび

春はそこまで来てますね
暖かな春の 訪れにナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも数えちゃいましたが...^^;
2個の数だけなら...格子点を数えてもいいですね ^^
x+y≦9,
0≦x,y≦9...(10^2-10)/2+10=55
1≦x,y≦8...(8^2-8)/2+8=36

3個以上の問題になったら...
上で議論されてるような方法じゃないと無理そうね...^^;...Orz~

uch*n*an  
No title

この問題は,幾つか例を上げて考えれば難しくないと思います。
強いて言えば,a < b の条件をどうやって簡単な計算で満たすか,かな。
一度条件をはずして等しいものを除き半分にする,という手法は覚えておいていいですね。
私の解法も[解答]と同じでした。

uch*n*an  
No title

なお,9C2,10H2 は,この問題では数えた方が早いでしょう。
一般的には,議論されているとおりで,いろいろの考え方がありますね。
私は,通常は,x + y + z = 9 として,
9 個の区別のないボールを 3 個の区別のある箱に振り分ける
= 9 個の区別のないボールを横に一列に並べ両端又は隙間に仕切りを 2 個入れる
と考えますが,これは,やどかりさんの方法と等価なようです。
0 ~ 9 は重複を許してそのまま 10H2,
1 ~ 9 はやどかりさん流に左端に入れないかつ重複なし,でもいいですが,
箱二つにあらかじめ 1 個ずつ入れておく,x + y + z = 7,としておいて,
8H2 = 9C2,でもいいですね。
これらは,
9 個の区別のないボールを 3 個の区別のある箱に振り分ける
= 3 個の区別のある箱に入れるという予約チケットを 9 個の区別のないボールに配布する
と考えてもよく,こうすると,3H9,3H7 とも解釈できるので,
たけちゃんさんの後の方の考え方とも等価になりますね。

たけちゃん  
No title

ここに提示するのは適切でないかもしれませんが,
前から疑問に思っていたので,提起させていただきます.

x+y+z=9の負でない整数解は,
最も素直に捉えれば,「3種類(X,Y,Z)から9個取る」であり,
3H9と考えるのが自然であると思っているのですが,
なぜか10H2と言われることが多いです.
11C2とか,ボールと仕切りの順列とかを経由すれば,
この式が正しいことはもちろんわかりますが,
10H2のメリット,というか,明白な説明がどうも見えません.

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
白梅が見事ら開花しましたね
梅のほのかな香りがここまで届きそうです
こちらでも遅咲きの梅がまだ満開のところも在るんですよ

宮崎は今梅に桜 そして桃の花と春を告げる花が満載です
春の風 ヤドカリさんにも届くといいな~

ナイス☆

樹☆  
No title

こんばんは。
大阪城にも梅林があったような・・?
白梅はほんとに清楚できれいです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
少しずつ梅が咲きだしていますが、まだ本格的とは言えません。
今日も寒い1日でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
まだまだ冬の気圧配置が続いていますね。
雪国のそちらは春の訪れが遅いでしょうが、梅だけでなく、
弥彦の花も菩提寺の花も一斉に咲くのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
まだまだ寒いですが、少しずつ梅の開花が多くなってきましたね。
今年も沢山の梅に出会いたいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
自然数解や0以上の整数解の個数はCやHと絡めれば楽ですので、
消化して下さいね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
比較の対象にはなりませんが、宮崎に比べると、ずいぶん遅い春です。
でも、少しずつ春は近付いています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
仰るように、3個以上の問題になったら、CやHを有効活用しないと大変です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
0以上の整数解の個数についての説明も有難う御座います。
ボールと箱という発想はありませんでしたが、
区切りを入れる考え方は、同じ発想ですね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
3H9,10H2 のどちらを使うかは好みの問題だと私は思います。
私は自分の好みに従って、10H2 を使いました。
そのメリットとしては、
区切りをいれる考え方では、同じ考え方で自然数解はCで求められること、
また、10H2=10・11/2! のように、
分子を増えるように書いてHの計算ができますが、
右の数が小さいので、Cに直さずに直接計算するときに楽なこと、
が挙げられます。
お望みの答になっていないかも知れませんが、これが私の見解です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
香りのいい花はいろいろありますが、梅のほのかな香りもいいですね。
宮崎の春の風が届いてくれたら嬉しいけど、大陸の汚染物質の方が気になります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
大阪城公園の梅林・梅園・桜、いずれも美しいです。
まだ、その便りが聞かれませんので訪れていませんが、
今年も機会があれば行きたいです。

たけちゃん  
No title

ヤドカリさん,リコメをありがとうございました.
もしかすると「解答が不満だ」と言っているように思われたかと心配です.
そんなことは全くなくて,10H2を好まれる方の考えが知りたかっただけです.

あげていただいた2つのメリットは,大変参考になりました.
私の好みはなお3H9の方ですが,10H2のメリットを知れたのは収穫でした.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
「解答が不満だ」と言われているとは思っていませんので、ご心配なく。
最初のコメントの「(x-1)+(y-1)≦7と見て」というような書き換えが不要なのも、
区切りで考えるメリットかと思います。
もちろん、同次積を意識すれば、3H9 ですね。