[答544] 繰り上がりのない足し算

'


[答544] 繰り上がりのない足し算


　a，b はともに３桁の自然数で、a＜b とします。

　a＋b を筆算で計算するとき全ての位で繰り上がりがない(a，b)は何通り？　当然 a＋b＜1000 です。


[解答]

　まず、a＜b の条件をはずして考えます。

　a，b の百の位，十の位，一の位それぞれの和は、その位の２数の和≦9 です。

　ここで、[ 0 ◆ 1 ◆ 2 ◆ 3 ◆ 4 ◆ 5 ◆ 6 ◆ 7 ◆ 8 ◆ 9 ]から２個の数を選ぶ方法を考えます。

　小さい数の前の◆の個数と 小さい数と大きい数の間の◆の個数の和は ９以下だから、

　百の位は自然数だから 1～9 から２個の数を重複なく選ぶ方法で、₉Ｃ₂＝36 通り、

　十の位，一の位は０を使えるから 0～9 から重複を許して選ぶ方法で、₁₀Ｈ₂＝55 通りあります。

　従って、全部で 36･55² 通りです。

　そのうち、a＝b の場合は、百の位は 1，2，3，4 で、十の位，一の位は 0，1，2，3，4 だから、 4･5² 通りです。

　a＜b，a＞b の場合は同数あるから、a＜b の場合は、(36･55²－4･5²)/2＝54400 通りになります。


☆ 各桁 1/2 の確率で繰り上がらないと仮定して概算すれば ₉₀₀Ｃ₂/2³≒50569 です。


☆ ｎ桁の場合は、(36･55^n-1－4･5^n-1)/2＝2･5^n-1(9･11^n-1－1) です。

.