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自然数解・非負整数解の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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自然数解・非負整数解の個数

 x+y+z=9 を満たす自然数の組(x,y,z)の組が何通りあるか、
 また、x+y+z=9 を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の組が何通りあるか、

 を求めてみます。

 1つの解法として、
 1 ~ 8 の整数の中から2つの数 a,b (a<b) を選び、x=a,y=b-a,z=9-b とすれば、
 x+y+z=9 を満たす自然数の組(x,y,z)の組が得られますので、 82=28 組の解があります。
 0 ~ 9 の整数の中から2つの数 a,b (a≦b) を重複を許して選び、x=a,y=b-a,z=9-b とすれば、
 x+y+z=9 を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の組が得られますので、 102=55 組の解があります。
 未知数が k 個,右辺が n の場合は、自然数解が n-1k-1 組,0以上の整数解が n+1k-1です。

 別の解法として、
 X,Y,Z の3種類の文字から重複を許して 9個を選び、その個数を x,y,z とすれば、
 x+y+z=9 を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の組が得られますので、 39=55 組の解があります。
 X,Y,Z の3種類の文字からあらかじめ1個ずつを選んでおき、更に重複を許して 6個を選べば、
 x+y+z=9 を満たす自然数の組(x,y,z)の組が得られますので、 36=28 組の解があります。
 未知数が k 個,右辺が n の場合は、自然数解が kn-k 組,0以上の整数解が knです。

 次に、不等式の場合について、
 x+y+z≦9 を満たす自然数の組(x,y,z)の組が何通りあるか、
 また、x+y+z≦9 を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の組が何通りあるか、

 を求めてみます。

 等式の場合と同じ解法として、
 1 ~ 9 の整数の中から3つの数 a,b,c (a<b<c) を選び、x=a,y=b-a,z=c-b とすれば、
 x+y+z≦9 を満たす自然数の組(x,y,z)の組が得られますので、 93=84 組の解があります。
 0 ~ 9 の中から3つの数 a,b,c (a≦b≦c) を重複を許して選び、x=a,y=b-a,z=c-b とすれば、
 x+y+z≦9 を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の組が得られますので、 103=220 組の解があります。
 未知数が k 個,右辺が n の場合は、自然数解が nk 組,0以上の整数解が n+1kです。

 別の解法として、
 自然数解の場合は x+y+z+w=10 ,0以上の整数解の場合は x+y+z+w=9 として、
 w を無視するという方法があります。
 未知数が k 個,右辺が n の場合は、自然数解が n-1k-1 組,0以上の整数解が n+1k-1 組であることから
 上と同じく、自然数解が 93=84 組、0以上の整数解が 103=220 組 です。
 未知数が k 個,右辺が n の場合は、自然数解が kn-k 組,0以上の整数解が kn 組であることから
 自然数解の場合は 46=84 組、0以上の整数解の場合は 49=220 組です。
 未知数が k 個,右辺が n の場合は、自然数解が k+1n-k 組,0以上の整数解が k+1nです。

 なお、自然数解において「…≦n」の解の組数は、「…=k」「…=k+1」……「…=n」の組数の和だから、
 nkk-1k-1kk-1+……+n-1k-1 が成り立ちます。

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Comments 13

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ヤドカリ  
No title


写真の花は、久米の舞(くめのまい)という、ベンケイソウ科の
多肉植物で、原産地はメキシコです。

古い人  
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ベンケイソウ科の植物も種類が多いですね。

多肉植物で金のなる木も此の仲間ですね。
此の仲間は平均に育てやすく多くの園芸品種がありますね。
乾燥した場所で育つのは多肉が多いですね。
ナイス。

アキチャン  
No title

おはようございます。
多肉植物なんですね(o^-^o)
お花が独特できれいですね♪ ナイス!

ニリンソウ  
No title

イワベンケイソウ科 でしたか!
オレンジの色が綺麗ですね、植物園ですか。

ナイス

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ベンケイソウ科の植物も種類が多いです。
多肉植物はかまってやらなくても元気に育つのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
多肉植物の花はあまり見られませんが、咲くと独特ですね。
初めて見ました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
植物園はときどき訪れると、思わぬ花に出会えます。
ふだん目立たない祝物ですが、きれいな花でした。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
多肉植物だとは思いましたが花は余り見かけない花ですね
濃いオレンジと黄色の色合いがとても綺麗ですね
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私も花は初めて見ました。
多肉植物の花はめったに見られないけど、咲くと綺麗ですね。

樹☆  
No title

こんばんは。
お花の説明がなければ「これなぁに?」と
聞くとこでした。
久米の舞いって名前もすてき。。
可愛くて春がきたら舞ってくれるでしょう。。ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
珍しい花なので、名前だけは書いておきました。
優雅な名前がついていました。

tsuyoshik1942  
No title

読ませていただきました。まだ未消化ですが、ここに良き解説があることは頭に刻みました。いつか、どこかでこの問題に遭遇した時に、またひも解かせていただきます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
納得すればそんなに難しいことではありませんので、
消化されることを願っております。