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[答545] 三角形の辺の比

ヤドカリ

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[答545] 三角形の辺の比


 鋭角三角形ABCがあり、頂点 A,B,C から対辺におろした垂線の足をそれぞれ D,E,F とします。

 面積比が △ABD:△BCE:△CAF=34:25:16 のとき、辺の長さの比 BC:CA:AB=?

 図は正確ではありません。


[解答1]

 △ABC=S,△ABD=34k,△BCE=25k,△CAF=16k とします。

 AD,BE,CF は△ABCの垂心で交わりますので、チェバの定理により、

 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1 、(△ABD/△ADC)(△BCE/△BEA)(△CAF/△CFB)=1 、

 (△ABD)(△BCE)(△CAF)=(△ADC)(△BEA)(△CFB) 、(34k)(25k)(16k)=(S-34k)(S-25k)(S-16k) 、

 ( ここで、S=50k が解であることを頭において、念のため展開すると )

 S3-75kS2+1794k2S-27200k3=0 、(S-50k)(S2-25kS+544k2)=0 、S=50k です。

 よって、BD/BC=△ABD/△ABC=17/25 ,DC/BC=1-17/25=8/25 ,

 CE/CA=△BCE/△ABC=1/2 ,EA/CA=1-1/2=1/2 になります。

 ( AF/AB=△CAF/△ABC=8/25 ,FB/AB=1-8/25=17/25 ですが上の比を使います )

 次に、三平方の定理により、BE2=AB2-EA2=BC2-CE2

 AB2-BC2=EA2-CE2(EA-CE)(EA+CE)=0 、よって、AB=BC 、

 同様に、AB2-CA2=(BD-CD)(BD+CD)=(9/25)BC2 、25AB2-25CA2=9BC2

 25BC2-25CA2=9BC2 、16BC2=25CA2 、4BC=5CA 、

 BC:CA=5:4 、BC:CA:AB=5:4:5 となります。


[解答2]

 BC=a,CA=b,AB=c とします。

 △ABD:△BCE:△CAF=c2・sinBcosB:a2・sinCcosC:b2・sinAcosA

  =bc2・cosB:ca2・cosC:ab2・cosA=34:25:16 より、

 a2bc2・cosB:b2ca2・cosC:c2ab2・cosA=34a2:25b2:16c2

 ca・cosB:ab・cosC:bc・cosA=34a2:25b2:16c2

 (ca・cosB+ab・cosC):(ab・cosC+bc・cosA):(bc・cosA+ca・cosB)=(34a2+25b2):(25b2+16c2):(16c2+34a2) 、

 a(c・cosB+b・cosC):b(a・cosC+c・cosA):c(b・cosA+a・cosB)=(34a2+25b2):(25b2+16c2):(16c2+34a2) 、

 a2:b2:c2=(34a2+25b2):(25b2+16c2):(16c2+34a2) 、

 (34a2+25b2)/a2=(25b2+16c2)/b2=(16c2+34a2)/c2

 34+25b2/a2=25+16c2/b2=16+34a2/c2=k とおくと、

 25b2/a2=k-34,16c2/b2=k-25,34a2/c2=k-16 、

 (k-34)(k-25)(k-16)=34・25・16 、k3-75k2+1794k-27200=0 、

 (k-50)(k2-25k+544)=0 、k=50 です。

 よって、25b2/a2=16 ,16c2/b2=25 、5b/a=4 ,4c/b=5 、

 5/a=4/b=5/c 、 a:b:c=5:4:5 となります。

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Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

最初は、遠回りをした「解答1」もどきでした。リコメの中の「○○○の定理」で「解答1」が閃きました。ただ、
>( ここで、S=50k が解であることを頭において..)この部分が、答を見つける手段としては良だが、「解く」手法として認知されるものなのか躊躇を覚えました。
後半部分は、s=50kと定まった時点で、BEが垂直二等分線であることから、直ちにAB=50p,BD=34P,DC=16Pと置き、AC^2=50P^2-34P^2+16p^2→AC=40P→5:4:5としました。

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

ピンクがほんのり、可愛い梅ちゃんです゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
23日に、錦織に行って来ましたが・・・まだまだ、一分咲きでしたよ!

ナイス!☆

uch*n*an  
No title

これは,個人的にその日忙しかったこともあり計算違いをするなど結構苦労しました。
実際,解答を見ると容易ではなさそうですね。
私の解法は三つ。
(解法1)は,[解答2]と同様に三角関数を使うものです。
ただ,最初から,正弦定理,余弦定理を使い辺の関係に持ち込みました。
次数が高くなるので最初計算違いをして変な解が出て来て苦労しましたが,
計算違いに気付いた後は思ったよりはスンナリでした。
[解答2]は途中の式変形が面倒そうで遠回りをしているような印象を受けますが...
(解法2)は,相似と面積の関係で解く解法です。[解答1]と同様に3次方程式を解くことになります。
ご参考までに書いておきましょう。
(解法3)は,アプローチが少し違いますが,[解答1]と同様にチェバの定理と面積で解く解法です。
手間は同じようなものでしょうか。

uch*n*an  
No title

(解法2)
△ABD ∽ △CBF,△CBF = △ABD * (BC/AB)^2,
△BCE ∽ △ACD,△ACD = △BCE * (CA/BC)^2,
△CAF ∽ △BAE,△BAE = △CAF * (AB/CA)^2,
△ABC = △ABD + △ACD = △ABD + △BCE * (CA/BC)^2,
△ABC = △BCE + △BAE = △BCE + △CAF * (AB/CA)^2,
△ABC = △CAF + △CBF = △CAF + △ABD * (BC/AB)^2,
なので,(BC/AB)^2 = x,(CA/BC)^2 = y,(AB/CA)^2 = z とおくと,
△ABD:△BCE:△CAF = 34:25:16 より,
34 + 25y = 25 + 16z = 16 + 34x,xvz = (BC/AB)^2 * (CA/BC)^2 * (AB/CA)^2 = 1

uch*n*an  
No title

25y = 16z - 9,34x = 16z + 9 なので,
(34x)(25y)z = 34 * 25,(16z + 9)(16z - 9)z = 25 * 34,
16^2 * z^3 - 81z - 25 * 34 = 0,(16z - 25)(16z^2 + 25z + 34) = 0,z = 25/16,x = 1
そこで,(AB/CA)^2 = 25/16,(BC/AB)^2 = 1,AB/CA = 5/4,BC/AB = 1,となって,
BC:CA:AB = 5:4:5
になります。

たけちゃん  
No title

この問題,BD:DC,CE:EA,AF:FBが分かれば,
その段階で得られたものは,cotB:cotC,cotC:cotA,cotA:cotBなので,
三角形の3内角のtanの比が分かることになります.
[475]の[解答5]の記事の手法で,tanの比が分かれば辺の長さの比が分かります.
(この記事は,はじめてここで採り上げていただいた私の解です)

それが頭にあったせいで,ついついそれにこだわりすぎ,
チェバの定理と3次方程式でBD:DC,CE:EA,AF:FBが得られることを
はじめは見落としてしまいました.
また,BD:DC,CE:EA,AF:FBを得た段階で,CE:EA=1:1からBC=CAが分かるのに,
当初の方針で突っ走ってしまったのも,反省点でした.

なお,(34k)(25k)(16k)=(S-34k)(S-25k)(S-16k) (34k<S)は,
右辺がSの増加関数なので,見えているS=50kが唯一の解なのは当然ですね.

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
基本、正弦・余弦定理を使った[解答2]でしたが...比計算だったので...
2次式にできて、BC=1 と置いて求めました ^^

ニリンソウ  
No title

可愛らしい梅ですね、八重咲きで桃のようにも見えます
温かくなっているのですね

ナイス

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
満開の梅もいいのですが、恥じらいながら咲く梅もいいものです。
そんな梅を見つけて撮りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
そのように見えるのは、樹ちゃんの少女の頃に似ているからかなぁ?
偶然、背景がボケて、梅がきれいに撮れました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白とピンクが混ざったような梅でした。
春が近付いているはずですが、寒いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
少しピンクがかって綺麗でした。
被写体が良いと写真を撮るのが楽しいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
因数定理での因数分解は思いつきなので、所詮このようなものです。
後半の、s=50kと定まった時点で二等辺三角形だと分かります。
二等辺三角形であることは、設定した出題者は最初から分かっていますが、
そうでなくても解けるような解き方をしました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
錦織公園はまだ1分咲きでしたか。
今年は梅が遅く、錦織公園は他より少し遅いことは知っていますが、
もう少し咲いていると思っていました。
そのうち、機会を見つけて行きたいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントと解答を有難う御座います。
[解答2]の途中の式変形はそんなに面倒でないと思います。
第2余弦定理を使ってももちろん解けますが、
久しぶりに第1余弦定理を使いたくなり、そのように式変形しました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、長いコメントを有難う御座います。
小細工にすぎませんが、チェバの定理が見えにくいような図の書き方をしました。
最後の3次方程式 (34k)(25k)(16k)=(S-34k)(S-25k)(S-16k) (34k<S) で、
右辺が単調増加になることは貴殿の解答でも書かれていましたね。
因数分解して解くと どんな解が出るのか気になって解いたのですが、
虚数解しか出てきませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
正弦・余弦定理を使うのがいちばん思いつき易い解き方ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
寒い日が続いていますが、そちらに比べれば暖かいのでしょう。
梅はまだ蕾も多いです。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
小さな可愛い女の子を思わせるような花ですね
こんな梅の花もあるのですね
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
可愛く咲いていました。
近くに他にも咲いていたのですが、これだけを撮りました。