[答546] 傍心が頂点の三角形
[答546] 傍心が頂点の三角形
△ABCがあって、その傍心をP,Q,Rとすると、BはPRを 3:5 に、CはPQを 7:5 に内分する点になりました。
このとき、辺の長さ比 BC:CA:AB=?
[解答1]
PからBCにおろした垂線の足をD,QからCAにおろした垂線の足をE,RからABにおろした垂線の足をF,
PからABの延長におろした垂線の足をG,PからACの延長におろした垂線の足をH とします。
AG=AH 、AB+BG=AC+CH 、AB+BD=AC+CD 、AB+BD=AC+BC-BD 、
よって、BD=(BC+CA-AB)/2 、
同様に、BF=(CA+AB-BC)/2 ,CD=(BC+AB-CA)/2 ,CE=(CA+AB-BC)/2 になります。
また、△BDP∽△BFR より BD:BF=BP:BR 、(BC+CA-AB)/2:(CA+AB-BC)/2=3:5 、
△CDP∽△CEQ より CD:CE=CP:CQ 、(BC+AB-CA)/2:(CA+AB-BC)/2=7:5 になります。
よって、(CA+AB-BC)/2:(BC+AB-CA)/2:(BC+CA-AB)/2:(BC+CA+AB)/2=5:7:3:15 、
BC:CA:AB=(15-5):(15-7):(15-3)=5:4:6 になります。
[解答2] 傍接円の半径の公式を使って
PからBCにおろした垂線の足をD,QからCAにおろした垂線の足をE,RからABにおろした垂線の足をF,
BC=a,CA=b,AB=c,(a+b+c)/2=s,△ABC=S とします。
△BDP∽△BFR より PD:RF=BP:BR 、S/(s-a):S/(s-c)=3:5 、(s-a):(s-c)=5:3 、
△CDP∽△CEQ より PD:QE=CP:CQ 、S/(s-a):S/(s-b)=7:5 、(s-a):(s-b)=5:7 、
よって、(s-a):(s-b):(s-c):s=5:7:3:(5+7+3)=5:7:3:15 、
a:b:c=(15-5):(15-7):(15-3)=5:4:6 になります。
[解答3] 相似にこだわって
AP,BQ,CR は、△ABCの内角の二等分線ですので、内心で交わります。
チェバの定理により、(QA/AR)(RB/BP)(PC/CQ)=1 、(QA/AR)(5/3)(7/5)=1 、QA/AR=3/7 だから、
AはQRを 3:7 に内分する点になります。
また、∠A,∠B,∠C の外角をそれぞれ 2α,2β,2γ とすれば、
2α+2β+2γ=180゚ 、α+β+γ=90゚ だから、∠P=α,∠Q=β,∠R=γ になります。
△PBC∽△AQC∽△ABR∽△PQR だから、相似比を x:y:z:1 とすれば、
BC=xQR,CP=xRP,PB=xPQ,QC=yQR,CA=yRP,AQ=yPQ,BR=zQR,RA=zRP,AB=zPQ です。
PB:BR=3:5 より xPQ:zQR=3:5 、PQ:QR=3/x:5/z=3z:5x 、
PC:CQ=7:5 より xRP:yQR=7:5 、RP:QR=7/x:5/y=7y:5x 、
よって、QR:RP:PQ=5x:7y:3z です。
△PBC=x2△PQR ,△PBC=(3/8)(7/12)△PQR より x2=7/32 、
△AQC=y2△PQR ,△AQC=(5/12)(3/10)△PQR より y2=1/8 、
△ABR=z2△PQR ,△ABR=(7/10)(5/8)△PQR より z2=7/16 だから、
BC:CA:AB=xQR:yRP:zPQ=5x2:7y2:3z2=5・7/32:7・1/8:3・7/16=5:4:6 になります。
[解答4] uch*n*anさんのコメントより
[解答3]と同じく,AはQRを 3:7 に内分する点になります。
これより,
BC:CA=BC・CR/2:CA・CR/2=△RBC:△RAC=(5/8)△RPC:(7/10)△RQC
=(5/8)(7/12)△RPQ:(7/10)(5/12)△RPQ=5:4
CA:AB=CA・AP/2:AB・AP/2=△PCA:△PBA=(7/12)△PQA:(3/8)△PRA
=(7/12)(3/10)△PQR:(3/8)(7/10)△PQR=4:6
BC:CA:AB=5:4:6 になります。
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