[答546] 傍心が頂点の三角形

[答546] 傍心が頂点の三角形


　△ABCがあって、その傍心をP，Q，Rとすると、BはPRを 3：5 に、CはPQを 7：5 に内分する点になりました。

　このとき、辺の長さ比 BC：CA：AB＝？


[解答1]

　PからBCにおろした垂線の足をD，QからCAにおろした垂線の足をE，RからABにおろした垂線の足をF，

　PからABの延長におろした垂線の足をG，PからACの延長におろした垂線の足をH とします。

　AG＝AH 、AB＋BG＝AC＋CH 、AB＋BD＝AC＋CD 、AB＋BD＝AC＋BC－BD 、

　よって、BD＝(BC＋CA－AB)/2 、

　同様に、BF＝(CA＋AB－BC)/2 ，CD＝(BC＋AB－CA)/2 ，CE＝(CA＋AB－BC)/2 になります。

　また、△BDP∽△BFR より BD：BF＝BP：BR 、(BC＋CA－AB)/2：(CA＋AB－BC)/2＝3：5 、

　△CDP∽△CEQ より CD：CE＝CP：CQ 、(BC＋AB－CA)/2：(CA＋AB－BC)/2＝7：5 になります。

　よって、(CA＋AB－BC)/2：(BC＋AB－CA)/2：(BC＋CA－AB)/2：(BC＋CA＋AB)/2＝5：7：3：15 、

　BC：CA：AB＝(15－5)：(15－7)：(15－3)＝5：4：6 になります。


[解答2] 傍接円の半径の公式を使って

　PからBCにおろした垂線の足をD，QからCAにおろした垂線の足をE，RからABにおろした垂線の足をF，

　BC＝a，CA＝b，AB＝c，(a＋b＋c)/2＝s，△ABC＝S とします。

　△BDP∽△BFR より PD：RF＝BP：BR 、S/(s－a)：S/(s－c)＝3：5 、(s－a)：(s－c)＝5：3 、

　△CDP∽△CEQ より PD：QE＝CP：CQ 、S/(s－a)：S/(s－b)＝7：5 、(s－a)：(s－b)＝5：7 、

　よって、(s－a)：(s－b)：(s－c)：s＝5：7：3：(5＋7＋3)＝5：7：3：15 、

　a：b：c＝(15－5)：(15－7)：(15－3)＝5：4：6 になります。


[解答3] 相似にこだわって

　AP，BQ，CR は、△ABCの内角の二等分線ですので、内心で交わります。

　チェバの定理により、(QA/AR)(RB/BP)(PC/CQ)＝1 、(QA/AR)(5/3)(7/5)＝1 、QA/AR＝3/7 だから、

　AはQRを 3：7 に内分する点になります。

　また、∠A，∠B，∠C の外角をそれぞれ 2α，2β，2γ とすれば、

　2α＋2β＋2γ＝180ﾟ 、α＋β＋γ＝90ﾟ だから、∠P＝α，∠Q＝β，∠R＝γ になります。

　△PBC∽△AQC∽△ABR∽△PQR だから、相似比を x：y：z：1 とすれば、

　BC＝xQR，CP＝xRP，PB＝xPQ，QC＝yQR，CA＝yRP，AQ＝yPQ，BR＝zQR，RA＝zRP，AB＝zPQ です。

　PB：BR＝3：5 より xPQ：zQR＝3：5 、PQ：QR＝3/x：5/z＝3z：5x 、

　PC：CQ＝7：5 より xRP：yQR＝7：5 、RP：QR＝7/x：5/y＝7y：5x 、

　よって、QR：RP：PQ＝5x：7y：3z です。

　△PBC＝x²△PQR ，△PBC＝(3/8)(7/12)△PQR より x²＝7/32 、

　△AQC＝y²△PQR ，△AQC＝(5/12)(3/10)△PQR より y²＝1/8 、

　△ABR＝z²△PQR ，△ABR＝(7/10)(5/8)△PQR より z²＝7/16 だから、

　BC：CA：AB＝xQR：yRP：zPQ＝5x²：7y²：3z²＝5･7/32：7･1/8：3･7/16＝5：4：6 になります。


[解答4] uch*n*anさんのコメントより

　[解答3]と同じく，AはQRを 3：7 に内分する点になります。

　これより，

　BC：CA＝BC･CR/2：CA･CR/2＝△RBC：△RAC＝(5/8)△RPC：(7/10)△RQC

　 ＝(5/8)(7/12)△RPQ：(7/10)(5/12)△RPQ＝5：4

　CA：AB＝CA･AP/2：AB･AP/2＝△PCA：△PBA＝(7/12)△PQA：(3/8)△PRA

　 ＝(7/12)(3/10)△PQR：(3/8)(7/10)△PQR＝4：6

　BC：CA：AB＝5：4：6 になります。

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