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[答546] 傍心が頂点の三角形

ヤドカリ

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[答546] 傍心が頂点の三角形


 △ABCがあって、その傍心をP,Q,Rとすると、BはPRを 3:5 に、CはPQを 7:5 に内分する点になりました。

 このとき、辺の長さ比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 PからBCにおろした垂線の足をD,QからCAにおろした垂線の足をE,RからABにおろした垂線の足をF,

 PからABの延長におろした垂線の足をG,PからACの延長におろした垂線の足をH とします。

 AG=AH 、AB+BG=AC+CH 、AB+BD=AC+CD 、AB+BD=AC+BC-BD 、

 よって、BD=(BC+CA-AB)/2 、

 同様に、BF=(CA+AB-BC)/2 ,CD=(BC+AB-CA)/2 ,CE=(CA+AB-BC)/2 になります。

 また、△BDP∽△BFR より BD:BF=BP:BR 、(BC+CA-AB)/2:(CA+AB-BC)/2=3:5 、

 △CDP∽△CEQ より CD:CE=CP:CQ 、(BC+AB-CA)/2:(CA+AB-BC)/2=7:5 になります。

 よって、(CA+AB-BC)/2:(BC+AB-CA)/2:(BC+CA-AB)/2:(BC+CA+AB)/2=5:7:3:15 、

 BC:CA:AB=(15-5):(15-7):(15-3)=5:4:6 になります。


[解答2] 傍接円の半径の公式を使って

 PからBCにおろした垂線の足をD,QからCAにおろした垂線の足をE,RからABにおろした垂線の足をF,

 BC=a,CA=b,AB=c,(a+b+c)/2=s,△ABC=S とします。

 △BDP∽△BFR より PD:RF=BP:BR 、S/(s-a):S/(s-c)=3:5 、(s-a):(s-c)=5:3 、

 △CDP∽△CEQ より PD:QE=CP:CQ 、S/(s-a):S/(s-b)=7:5 、(s-a):(s-b)=5:7 、

 よって、(s-a):(s-b):(s-c):s=5:7:3:(5+7+3)=5:7:3:15 、

 a:b:c=(15-5):(15-7):(15-3)=5:4:6 になります。


[解答3] 相似にこだわって

 AP,BQ,CR は、△ABCの内角の二等分線ですので、内心で交わります。

 チェバの定理により、(QA/AR)(RB/BP)(PC/CQ)=1 、(QA/AR)(5/3)(7/5)=1 、QA/AR=3/7 だから、

 AはQRを 3:7 に内分する点になります。

 また、∠A,∠B,∠C の外角をそれぞれ 2α,2β,2γ とすれば、

 2α+2β+2γ=180゚ 、α+β+γ=90゚ だから、∠P=α,∠Q=β,∠R=γ になります。

 △PBC∽△AQC∽△ABR∽△PQR だから、相似比を x:y:z:1 とすれば、

 BC=xQR,CP=xRP,PB=xPQ,QC=yQR,CA=yRP,AQ=yPQ,BR=zQR,RA=zRP,AB=zPQ です。

 PB:BR=3:5 より xPQ:zQR=3:5 、PQ:QR=3/x:5/z=3z:5x 、

 PC:CQ=7:5 より xRP:yQR=7:5 、RP:QR=7/x:5/y=7y:5x 、

 よって、QR:RP:PQ=5x:7y:3z です。

 △PBC=x2△PQR ,△PBC=(3/8)(7/12)△PQR より x2=7/32 、

 △AQC=y2△PQR ,△AQC=(5/12)(3/10)△PQR より y2=1/8 、

 △ABR=z2△PQR ,△ABR=(7/10)(5/8)△PQR より z2=7/16 だから、

 BC:CA:AB=xQR:yRP:zPQ=5x2:7y2:3z2=5・7/32:7・1/8:3・7/16=5:4:6 になります。


[解答4] uch*n*anさんのコメントより

 [解答3]と同じく,AはQRを 3:7 に内分する点になります。

 これより,

 BC:CA=BC・CR/2:CA・CR/2=△RBC:△RAC=(5/8)△RPC:(7/10)△RQC

  =(5/8)(7/12)△RPQ:(7/10)(5/12)△RPQ=5:4

 CA:AB=CA・AP/2:AB・AP/2=△PCA:△PBA=(7/12)△PQA:(3/8)△PRA

  =(7/12)(3/10)△PQR:(3/8)(7/10)△PQR=4:6

 BC:CA:AB=5:4:6 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
PA,QB,RCは垂線になることから...三平方を使って、辺の比率を出して...
そのあとどうやったんだったっけ....^^;...
今回、傍心をサーチしてたら...傍心の性質を使えば...フランクリンの凧のような問題が解きやすいってことを知りました☆ Orz~

tsuyoshik1942  
No title

その時は、それなりにすっきり解けたつもりでした。
が、どんな手法で解いたか忘れ、解答送信コメントを見直しました。
そして愕然!
直前の「545問」で使用した「チェバの定理」を適用できず、QA:ARの算出に手間取っていました。
解法は、強いて区分すれば、「解答3」もどきでした。

こっこちゃん  
No title

おはようございます

梅の花も満開で咲きだし
春爛漫に なって来ましたね ナイス

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

梅の花✿綺麗です~゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
満開ですね。。。
錦織公園と大違いです^_^;


ナイス!☆

ひとりしずか  
No title

画面いっぱいに春~
梅林の中にいるような錯覚に~

ナイス!

uch*n*an  
No title

これもいろいろと考えられる問題でした。内心,傍心回りにはいろいろと関係があるので,
何か公式とかあるのだろうな,と思い,実際それをうかがわせるリコメもありましたが,
公式をあまり知らない,覚えられない (^^;,私には[解答2]は思い付きませんでした。
そういえばそんな公式がありましたね。よい復習にになりました。
[解答1]は,地道で素直で好感が持てる解法で,個人的には好きです。
私の解法は四つ。
(解法1)は,メネラウスの定理を繰り返し使う解法です。
(解法2)は,[解答4]です。
(解法3)は,チェバの定理と相似,という点では[解答3]と同じですが,もう少し単純です。
ご参考までに書いておきましょう。
(解法4)は,チェバの定理も使わずに相似だけで解く解法で,
最後まで初等幾何でもよかったのですが,
ちょっと遊んで最後に正弦定理を使ってみました。

uch*n*an  
No title

(解法3)
傍心の定義により,AP,BQ,CR はそれぞれ ∠CAB,∠ABC,∠BCA の二等分線で,
△ABC の内心で一点に交わり,チェバの定理を使って,
PC/CQ * QA/AR * RB/BP = 1,7/5 * QA/AR * 5/3 = 1,QA/AR = 3/7,QA:AR = 3:7,です。
これより,
△PBC:△QCA:△RAB = (3/8 * 7/12):(5/12 * 3/10):(7/10 * 5/8) = 21:12:42
一方で,P,Q,R から BC,CA,AB に下ろした垂線の足を H,I,J とすると,
やはり傍心の定義により,
∠PCH = ∠QCI,△PCH ∽ △QCI,PH:QI = PC:QC = 7:5,
∠PBH = ∠RBJ,△PBH ∽ △RBJ,PH:RJ = PB:RB = 3:5,PH:QI:RJ = 21:15:35
そこで,
BC:CA:AB = (△PBC/PH):(△QCA/QI):(△RAB/RJ) = (21/21):(12/15):(42/35) = 5:4:6
になります。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

お城は見えないけど・・・・
大阪城の庭でしょうか?
梅の花が満開ですね。
大阪は春だわ~~。ナイス☆

ニリンソウ  
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わー暖かいですね~梅が満開ですね
待ってた人のそぞろ歩きがみえるようです

ナイス

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
咲いている樹を選んで撮っているので、たくさん咲いているように見えますが、
まだまだ綺麗に咲きそうです。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今年は遅いとはいえ、かなり咲いてきました。
気持ちも晴れやかになってきますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
梅もだんだん咲いてきました。もっと暖かくなってほしいです。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
私も傍心を扱いなれていないので、出題がそのまま勉強になります。

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
チェバの定理自体は分かり易いですが、
交わる3本の直線が見えていないと使えませんね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
こちらでも少しずつ春めいてきました。
でも、桃や桜はまだまだです。

ヤドカリ  
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yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
まだ満開とはいかないものの、長居植物園ではある程度咲いていました。
錦織公園と違って、梅のエリアが狭いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
昨日まで寒かったのですが、今日はちょっと寒さが緩みました。
寒さと暖かさを繰り返して春は進みます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答1]は素朴ですが、この解き方の解答はありませんでした。
[解答2]は知っていれば最も簡単だと思います。何名かがこの解き方でした。
[解答3]は少し遠回りかも知れませんが、ついでに面積比がわかるように解きました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
長居植物園です。
大阪城公園も見頃が近づいていると思いますが、
人が写らないように撮るのは難しいかも知れません。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この植物園は梅はそれほど多くなく、梅林といえるかどうか分かりませんが、
梅林の中にいるような写真になりました。