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[答547] 直角三角形の辺の長さ

ヤドカリ

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[答547] 直角三角形の辺の長さ


 ∠A=90゚,AB<AC の直角三角形ABC があって、

 ∠B,∠C の二等分線上にそれぞれ 点D,E をとって、台形DBCE をつくります。

 △ABC=20,△ADE=6,台形DBCE=7 のとき、AB=?


[解答]

 △ABCの内接円を描き、頂点A,B,Cから、内接円と辺との接点までの距離をそれぞれa,b,cとすれば、

 三平方の定理より、(a+b)2+(a+c)2=(b+c)2

 簡単にして、a2+ab+ac=bc 、a(b+c)=bc-a2 になります。

 また、△ABC=(a+b)(a+c)=2bc=40 より bc=20 になります。

 よって、a(b+c)=20-a2 、b+c=20/a-a ……(1) になります。

 次に、台形DBCEの高さを h とすれば、

 台形DBCE=(DE+b+c)h/2=7 、(DE+b+c)h=14 ……(2) になります。

 △ABD+△AEC=20-6-7 、(a+b)h/2+(a+c)h/2=7 、(2a+b+c)h=14 ……(3) です。

 (2)(3)より DE=2a になり、△ADEのDEを底辺とする高さは、2△ADE/DE=12/(2a)=6/a だから、

 △ABCのBCを底辺とする高さは 6/a+h となって、

 (b+c)(6/a+h)/2=20 、(b+c)(6/a+h)=40 、40-(b+c)(6/a)=(b+c)h 、

 (3)を掛けて、(2a+b+c)h{40-(b+c)(6/a)}=14(b+c)h 、

 (1)を代入して、(2a+20/a-a){40-(20/a-a)(6/a)}=14(20/a-a) 、

 (a+20/a)(46-120/a2)=14(20/a-a) 、(a2+20)(46a2-120)=14a2(20-a2) 、

 60a4+520a2-2400=0 、3a4+26a2-120=0 、(3a2-10)(a2+12)=0 、a2=10/3 、a=(√30)/3 です。

 AB+AC=2a+b+c=2a+20/a-a=a+20/a=(7√30)/3 で、

 AB・AC=(a+b)(a+c)=40 と併せて、AB,AC を解とする2次方程式は、

 x2-(7√30)x/3+40=0 、3x2-(7√30)x+120=0 、(x-√30)(3x-4√30)=0 、x=√30,(4√30)/3 、

 AB<AC より、AB=√30,AC=(4√30)/3 になります。 

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Comments 12

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古い人  
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馬酔木の花ですね。

花の名前に似せぬ可愛い花ですね。
山の中で春一番に白く咲く花ですね。
花の形も可愛い形です。
ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます。
このはながアセビ?見たことは初めてかも。。
毒があるのでしょ?お馬さん食べないで~ナイス

uch*n*an  
No title

これは,見かけよりも面倒な問題でした。実際,[解答]もあまり楽ではないですね。
私の解法は二つ。若干途中の計算が違いますが,どちらも[解答]と同じような解法です。
(解法1)の方がより計算主体,(解法2)の方がより図形の性質を加味,といった感じで,
強いて言えば,[解答]はその中間のような印象を受けます。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これも算額みたいで...計算力のいる問題でしたのねぇ ^^;
なかなか上手い式変形を見つけるのが苦手です...
最近は...もっぱら、式を立てても...自分の力じゃ無理と諦めちゃうこと多く...^^;...計算させてしまいます...めんご Orz~...

ニリンソウ  
No title

アセビですね~
秋から蕾付けてやっと咲く季節を迎えたんですね

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
アセビの花が大分開花してきましたね
すずらんのような可愛い花 大好きな花です
我が家の庭でも今満開に成っています
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴殿も記事にされたアセビです。
まだだと思っていましたが、これだけ咲いている所に出会いました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私は毎年何ヶ所かで見ていますが、他の場所ではまだこれだけ咲いていません。
アセビには出会いますが、お馬さんをほとんど見かけません。
ということで、お馬さんが食べる心配をしたことがありません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
作問のとき意外に面倒な計算になったので、
3:4:5の三角形を使い、△ABD+△ACE=台形DBCE にしました。
それでも、この計算です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
このような計算主体になる問題に、
式の作り方によって簡単に解ける解法があれば最高なのですが、
そんな問題ができればいいなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ようやくアセビが咲く季節になしました。
たくさんの花が咲くのは嬉しいことです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
そちらでも満開ですか。
スズランは連想しませんでしたが、スズナリですね。