[答548] 正三角形内の直角三角形

[答548] 正三角形内の直角三角形


　１辺の長さが 14 の 正三角形ABCの 辺AB上に点P，辺BC上に点Q，辺CA上に点R を、

　PQ：QR：RP＝1：2：√3 になるようにとります。

　△PQRの面積を最小にするとき、 BP＝？　BQ＝？　CR＝？


[解答1]

　１辺の長さが 1 の正三角形の面積を S ，BP＝x とすれば、AP＝14－x です。

　△BQP∽△CRQ で 相似比は QP：RQ＝1：2 だから、

　CQ＝2x，BQ＝14－2x，CR＝28－4x，AR＝4x－14 になり、7/2＜x＜7 です。

　△PQR＝△ABC－△APR－△BQP－△CRQ＝△ABC－△APR－5△BQP

　 ＝14²S－(14－x)(4x－14)S－5(14－2x)xS＝(14x²－140x＋392)S

　 ＝14(x²－10x＋28)S＝14{(x－5)²＋3}S

　よって、x＝5 のとき △PQRは最小値 42S になります。

　このとき、BP＝5，BQ＝4，CR＝8 です。


[解答2]

　１辺の長さが 1 の正三角形の面積を S ，BP＝x ，BQ＝y とすれば、

　△BQP∽△CRQ で 相似比は QP：RQ＝1：2 だから、

　CQ＝2x，CR＝2y，AP＝14－x，AQ＝14－2y で、2x＋y＝14 です。

　△PQR＝△ABC－△APR－△BQP－△CRQ＝14²S－(14－x)(14－2y)S－xyS－2x･2yS

　 ＝(－7xy＋14x＋28y)S＝－7{(x－4)(y－2)－8}S です。

　よって、(x－4)(y－2) が最大になる x，y の値を求めることになります。

　ここで、2x＋y＝14 より 2(x－4)＋(y－2)＞0 だから、x－4＞0，y－2＞0 のいずれかは成り立ち、

　x－4≦0 または y－2≦0 の場合は (x－4)(y－2)≦0 となって、最大になりません。

　よって、x＞4 かつ y＞2 の場合だけを考えればよいことになります。

　2(x－4)＋(y－2)＝4 だから 相加･相乗平均の関係により、(x－4)(y－2) が最大になるのは、

　2(x－4)＝y－2＝2 のとき、すなわち x＝5，y＝4 のときで、BP＝5，BQ＝4，CR＝8 になります。


[解答3] たけちゃんさんの解答より

　PQ＝x，∠APR＝θとおく．

　正弦定理より，AR＝PR･sinθ/sin60ﾟ＝(√3)x･sinθ/sin60ﾟ＝2x･sinθ,

　CR＝QR･sin(90ﾟ－θ)/sin60ﾟ＝2x･sin(90ﾟ－θ)/sin60ﾟ＝(4/√3)x･cosθ.

　CR＋AR＝x{(4/√3)cosθ＋2sinθ}＝14 ，x{(2/√7)cosθ＋(√3/√7)sinθ}＝√21　より，

　ここで、cosα＝2/√7，sinα＝√3/√7 を満たす鋭角αを考えれば，

　x･cos(θ－α)＝√21 ，x＝(√21)/cos(θ－α) より，

　θ＝α すなわち sinθ＝√3/√7，cosθ＝2/√7，x が最小になり，x＝√21 です.

　このとき，△PQRの面積 (√3)x²/2 は 最小値 (21√3)/2 になり，

　BP＝x･sin(θ＋30ﾟ)/sin60ﾟ＝5， BQ＝x･sin(90ﾟ－θ)/sin60ﾟ＝4，

　△BPQ∽△CQR，相似比 1：2 より，CR＝2BQ＝8.


[解答4] ちょっとベクトル

　xy平面上で A(7，7√3)，B(0，0)，C(14，0)，P(p，p√3)，Q(q，0) とします。

　ベクトルを太字で表すと、PQ＝(q－p，－p√3) だから、PR＝(√3)(p√3，q－p) 、

　BR＝BP＋PR＝(p，p√3)＋(√3)(p√3，q－p)＝(4p，q√3) 、R(4p，q√3) です。

　点Rは、AC：y＝－(√3)(x－14) 上にあるから、q√3＝－(√3)(4p－14) 、q＝－4p＋14 になります。

　PQ²＝(p－q)²＋(p√3)²＝(5p－14)²＋3p²＝28p²－140p＋196＝28(p－5/2)²＋21 、

　従って、△PQRの面積も p＝5/2 ，q＝4 のとき最小になります。

　このとき、P(5/2，(5/2)√3)，Q(4，0)，R(10，4√3) で、P，Q，Rは辺AB，BC，CA上にあります。

　BP＝5，BQ＝4，CR＝8 になります。

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