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[答548] 正三角形内の直角三角形

ヤドカリ

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[答548] 正三角形内の直角三角形


 1辺の長さが 14 の 正三角形ABCの 辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺CA上に点R を、

 PQ:QR:RP=1:2:√3 になるようにとります。

 △PQRの面積を最小にするとき、 BP=? BQ=? CR=?


[解答1]

 1辺の長さが 1 の正三角形の面積を S ,BP=x とすれば、AP=14-x です。

 △BQP∽△CRQ で 相似比は QP:RQ=1:2 だから、

 CQ=2x,BQ=14-2x,CR=28-4x,AR=4x-14 になり、7/2<x<7 です。

 △PQR=△ABC-△APR-△BQP-△CRQ=△ABC-△APR-5△BQP

  =142S-(14-x)(4x-14)S-5(14-2x)xS=(14x2-140x+392)S

  =14(x2-10x+28)S=14{(x-5)2+3}S

 よって、x=5 のとき △PQRは最小値 42S になります。

 このとき、BP=5,BQ=4,CR=8 です。


[解答2]

 1辺の長さが 1 の正三角形の面積を S ,BP=x ,BQ=y とすれば、

 △BQP∽△CRQ で 相似比は QP:RQ=1:2 だから、

 CQ=2x,CR=2y,AP=14-x,AQ=14-2y で、2x+y=14 です。

 △PQR=△ABC-△APR-△BQP-△CRQ=142S-(14-x)(14-2y)S-xyS-2x・2yS

  =(-7xy+14x+28y)S=-7{(x-4)(y-2)-8}S です。

 よって、(x-4)(y-2) が最大になる x,y の値を求めることになります。

 ここで、2x+y=14 より 2(x-4)+(y-2)>0 だから、x-4>0,y-2>0 のいずれかは成り立ち、

 x-4≦0 または y-2≦0 の場合は (x-4)(y-2)≦0 となって、最大になりません。

 よって、x>4 かつ y>2 の場合だけを考えればよいことになります。

 2(x-4)+(y-2)=4 だから 相加・相乗平均の関係により、(x-4)(y-2) が最大になるのは、

 2(x-4)=y-2=2 のとき、すなわち x=5,y=4 のときで、BP=5,BQ=4,CR=8 になります。


[解答3] たけちゃんさんの解答より

 PQ=x,∠APR=θとおく.

 正弦定理より,AR=PR・sinθ/sin60゚=(√3)x・sinθ/sin60゚=2x・sinθ,

 CR=QR・sin(90゚-θ)/sin60゚=2x・sin(90゚-θ)/sin60゚=(4/√3)x・cosθ.

 CR+AR=x{(4/√3)cosθ+2sinθ}=14 ,x{(2/√7)cosθ+(√3/√7)sinθ}=√21 より,

 ここで、cosα=2/√7,sinα=√3/√7 を満たす鋭角αを考えれば,

 x・cos(θ-α)=√21 ,x=(√21)/cos(θ-α) より,

 θ=α すなわち sinθ=√3/√7,cosθ=2/√7,x が最小になり,x=√21 です.

 このとき,△PQRの面積 (√3)x2/2 は 最小値 (21√3)/2 になり,

 BP=x・sin(θ+30゚)/sin60゚=5, BQ=x・sin(90゚-θ)/sin60゚=4,

 △BPQ∽△CQR,相似比 1:2 より,CR=2BQ=8.


[解答4] ちょっとベクトル

 xy平面上で A(7,7√3),B(0,0),C(14,0),P(p,p√3),Q(q,0) とします。

 ベクトルを太字で表すと、PQ=(q-p,-p√3) だから、PR=(√3)(p√3,q-p) 、

 BRBPPR=(p,p√3)+(√3)(p√3,q-p)=(4p,q√3) 、R(4p,q√3) です。

 点Rは、AC:y=-(√3)(x-14) 上にあるから、q√3=-(√3)(4p-14) 、q=-4p+14 になります。

 PQ2=(p-q)2+(p√3)2=(5p-14)2+3p2=28p2-140p+196=28(p-5/2)2+21 、

 従って、△PQRの面積も p=5/2 ,q=4 のとき最小になります。

 このとき、P(5/2,(5/2)√3),Q(4,0),R(10,4√3) で、P,Q,Rは辺AB,BC,CA上にあります。

 BP=5,BQ=4,CR=8 になります。

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Comments 13

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古い人  
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今日の水仙の花黄色一色ですね。

色も濃くて花柄も綺麗ですね。
水仙は二色咲が多い中とても良いですね。
ナイス、

アキチャン  
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おはようございます。
一面のスイセンは綺麗でしょうね(o^-^o)
ナイス!

ひとりしずか  
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満開なんですね~いい色!
庭のスイセン芽が出たばかりです~

ナイス!

uch*n*an  
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これは比較的容易な問題でした。
いろいろと考えたかったのですが,時間がなく,私の解法は一つだけで[解答1]と同じでした。
その後,例えば,
x^2 - 10x + 28 = - x(10 - x) + 28 = - (x - 1)(9 - x) + 19 = - (x - 2)(8 - x) + 12 = …
などと式変形すれば[解答2]のように相加相乗平均を使えるな,とは思ったものの,
単なる式変形では面白くないし,そこまで拘らなくてもいいか,と思い止めてしまいました (^^;
[解答2]のように意味を付けての解答ならばいいですね。

uch*n*an  
No title

[解答3]は,ちょっと意外で「へぇ~こんな解法もあるんだ」というのが本音です。
どういう発想でこういう解法が出てきたのかを知りたい気もします。ただ,
>x が最小のとき, sinθ=√3/√7,cosθ=2/√7,x=√21.
ここは,ある意味明らかですが,解答として掲載するからにはもう少し説明が欲しいです。
加えて欲しいのは,何故 x が最小のときを考えるかと,sinθ,cosθの求め方です。
前者はこれがないと論理の流れが見づらく,後者は教科書の練習問題ぐらいにはなるからです。
ご検討ください。なお,後者は幾つかの考え方がありますね。
[解答4]は,確かにベクトルを使ってはいますが,この程度ならば座標といってもいいかも。

ニリンソウ  
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今日の水仙もいいですね!
やっと芽が上ってきた所です。

ナイス

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
私が子供の頃覚えたラッパ水仙、もう少し素朴だった気がするのですが、
遠い記憶ですので分かりませんが、鮮やかな黄色は覚えています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
日本水仙の方が多かったのですが、ラッパ水仙の黄色の方が目立っていました。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
芽が出たばかりの水仙でも、今週は暖かくなるそうですので、
開花を早めてくれるかもしれません。待ち遠しいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答2]は減点の対象にならないような書き方をしたのですが、
これだけ書くなら2次関数の方が楽です。
答だけなら2次関数より[解答2]だと思います。
[解答3]の説明は少し付け加えたのですが、もう少し丁寧な説明の方がいいですね。
少しですが、加筆しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
そちらは春の訪れが遅いようですが、たくさんの花が春を待っているようですね。

さっちゃんこ  
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こんばんは
ラッパ水仙でしょうか
濃い黄色の水仙 春の訪れを感じます
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
カラフルな花が多い中、単色の花もいいものです。
春らしい色でした。