[答552] 数列の第10項

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[答552] 数列の第10項

　_n
　 Σa_k²＝a_na_n+1 (n＝1，2，3，……)，a₃＝1 を満たす数列{ a_n }　において、 a₁₀＝？
　 ^k=1


[解答]

　_n
　 Σa_k²＝S_n とします。
　 ^k=1

　n＝1 を代入すれば、S₁＝a₁a₂ 、a₁²＝a₁a₂ 、

　よって、a₁＝0 であれば a₂ は任意の数、a₁≠0 であれば a₂＝a₁ です。

　n≧2 のとき、

　S_n－S_n-1＝a_na_n+1－a_n-1a_n 、a_n²＝a_na_n+1－a_n-1a_n 、

　よって、a_n＝0 であれば a_n+1 は任意の数、a_n≠0 であれば a_n+1＝a_n＋a_n-1 です。

　従って、

　a₁＝a≠0 とすれば、a₂＝a ，a₃＝2a ，a₄＝3a ，a₅＝5a ，a₆＝8a ，a₇＝13a ，a₈＝21a ，a₉＝34a ，a₁₀＝55a

　 となって、 a₃＝2a＝1 だから、a＝1/2 、a₁₀＝55a＝55/2 になります。

　a₁＝0 ，a₂＝b≠0 とすれば、a₃＝b ，a₄＝2b ，a₅＝3b ，a₆＝5b ，a₇＝8b ，a₈＝13b ，a₉＝21b ，a₁₀＝34b

　 となって、 a₃＝b＝1 だから、b＝1 、a₁₀＝34b＝34 になります。

　a₁＝0 ，a₂＝0 とすれば、a₃＝1 ，a₄＝1 ，a₅＝2 ，a₆＝3 ，a₇＝5 ，a₈＝8 ，a₉＝13 ，a₁₀＝21 となります。

　結局、a₁₀＝55/2，34，21 です。


[参考]

　_n
　 Σa_k²＝a_na_n+1 はフィボナッチ数列の有名な性質ですが、
　 ^k=1

　この性質をもつ数列は、全ての項が 0 である数列　または　フィボナッチ数列およびその定数倍

　または　第何項までかが0でその後がフィボナッチ数列およびその定数倍 であることが分かります。

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