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[答552] 数列の第10項

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答552] 数列の第10項

  n
  Σak2=anan+1 (n=1,2,3,……),a3=1 を満たす数列{ an } において、 a10=?
  k=1


[解答]

  n
  Σak2=Sn とします。
  k=1

 n=1 を代入すれば、S1=a1a2 、a12=a1a2

 よって、a1=0 であれば a2 は任意の数、a1≠0 であれば a2=a1 です。

 n≧2 のとき、

 Sn-Sn-1=anan+1-an-1an 、an2=anan+1-an-1an

 よって、an=0 であれば an+1 は任意の数、an≠0 であれば an+1=an+an-1 です。

 従って、

 a1=a≠0 とすれば、a2=a ,a3=2a ,a4=3a ,a5=5a ,a6=8a ,a7=13a ,a8=21a ,a9=34a ,a10=55a

  となって、 a3=2a=1 だから、a=1/2 、a10=55a=55/2 になります。

 a1=0 ,a2=b≠0 とすれば、a3=b ,a4=2b ,a5=3b ,a6=5b ,a7=8b ,a8=13b ,a9=21b ,a10=34b

  となって、 a3=b=1 だから、b=1 、a10=34b=34 になります。

 a1=0 ,a2=0 とすれば、a3=1 ,a4=1 ,a5=2 ,a6=3 ,a7=5 ,a8=8 ,a9=13 ,a10=21 となります。

 結局、a10=55/2,34,21 です。


[参考]

  n
  Σak2=anan+1 はフィボナッチ数列の有名な性質ですが、
  k=1

 この性質をもつ数列は、全ての項が 0 である数列 または フィボナッチ数列およびその定数倍

 または 第何項までかが0でその後がフィボナッチ数列およびその定数倍 であることが分かります。

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Comments 20

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ベニスモモの開花も毎年楽しみにしています。
大坂城公園の森の宮の入り口に咲いています。

ヤドカリ  
No title

> 2013/3/13(水) 午前 4:22の鍵コメ様
早速のコメントを有難う御座います。
午前6時前のアップが多いのですが、夜眠れないで、
日付が変わればアップすることにしています。

ひとりしずか  
No title

すもも好きな果物の一つです

花ははじめてみるような~
桜や梅に似ていましね~
ナイス☆

古い人  
No title

スモモですか綺麗ですね。

オシベが春を謳歌していますね。
美味しい実を付けることでしょう。
ナイス。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
珍しや !! 夜更かし ^^
ヤドカリさんも人間だったのね☆
フィボナッチがこんな式で表せるなんて知らなかったぁ♪
その理由が上で示されているわけなのね...^^;...Orz~

tsuyoshik1942  
No title

取っ掛かりは手惑いましたが、採りうる a1,a2を調べ、無事ゴール出来ました。
もっとも、自分がこの問題に取り組んだ時は、答が三つあることが示された後でした。無地な状態での取組みなら、いくつか見落としていたと思います。
フィボナッチ数列になっていることには気がつきましたが、その中身は、今もって、今一つ未消化です。

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

お花は、初見かもしれません゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
綺麗な花ですね。。。

ナイス!☆

ニリンソウ  
No title

梅かな、桜じゃないな、答えがあってホッとした
紅スモモ?
スモモの花も知りません。

ナイス

uch*n*an  
No title

これは,[参考]にあるとおり,基本的にはフィボナッチ数列の漸化式が出て来るのですが,
与えられた式が2次式と初期条件の与え方のためにややこしくなっており値が一意に決まらない,
という問題でした。ちなみに a1 = 1 とすれば通常のフィボナッチ数列ですね。
私の解法も[解答]と同じです。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

スモモの花ですか~

なんでも 梅とか 桜に見ると行けませんね ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
スモモは果実としてもいいですが、花も素敵です。
同じバラ科の植物で、梅や桜と言われてもこんな種類もあるのかナと思います。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
仰る通り、おしべが目立ちますね。
春になると似た花がいろいろと咲きますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
上にも書きましたが、午前6時前にアップするよう心がけています。
ただ、日付が変わると、朝は起きづらいですので、そのままアップします。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
フィボナッチが関係することはいくつかのの値を求めれば分かります。
その根拠を漸化式から導けば分かってきます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
大坂城公園の森の宮に近い入口に咲いています。
今年はまだだと思いますが、
長居植物園の薔薇園のそばでも白いスモモの花がビッシリ咲きます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
普通のスモモと違って少し赤みを帯びています。
特に、葉が赤いので、ベニバスモモともいいます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
ちょっとした初期条件の違いで面白い問題が出来たと思っています。
まだまだ知らないことが多いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
このような花は似ていてよく分かりません。
実が付いていれば分かるのですが……。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
この種のお花はどれも似ていますね(o^-^o)
とても綺麗です♪ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
よく似た花で分かりにくいですが、
いろんな種類の花が次々に咲いてくれて、春を感じます。