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[答553] 垂線の足を結ぶ三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答553] 垂線の足を結ぶ三角形の面積


 BC=56,CA=49,AB=35 である△ABCの頂点A,B,Cから対辺におろした垂線の足をD,E,Fとします。

 このとき、△DEFの面積は?


[解答1]

 AD2=AB2-BD2=AC2-CD2 より、

 AB2-AC2=BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD)=BC(BD-CD) 、

 BD-CD=(AB2-AC2)/BC 、また、BD+CD=BC だから、

 2BD=BC+(AB2-AC2)/BC 、BD/BC={1+(AB2-AC2)/BC2}/2 で、

 BC:CA:AB=8:7:5 だから、

 BD/BC={1+(52-72)/82}/2=5/16 ,CD/BC=1-5/16=11/16 です。

 同様に、CE/CA={1+(82-52)/72}/2=44/49 ,AE/CA=1-44/49=5/49 、

 AF/AB={1+(72-82)/52}/2=1/5 ,BF/AB=1-1/5=4/5 です。

 よって、△AEF/△ABC=(AE/AC)(AF/AB)=(5/49)(1/5)=1/49 、

 △BFD/△ABC=(BF/BA)(BD/BC)=(4/5)(5/16)=1/4 、

 △CDE/△ABC=(CD/CB)(CE/CA)=(11/16)(44/49)=121/196 です。

 また、BD=(5/16)BC=(5/16)・56=35/2 、AD=√(AB2-BD2)=√{352-(35/2)2}=(35/2)√3 、

 △ABC=BC・AD/2=56・{(35/2)√3}/2=14・35√3 となって、

 △DEF=(1-1/49-1/4-121/196)△ABC=(11/98)・14・35√3=55√3 です。


 三角比を使えば、BC:CA:AB=8:7:5 で、 余弦定理より、

 cosB=(52+82-72)/(2・5・8)=1/2 、B=60゚ です。

 △ABC=(1/2)・35・56・sin60゚=14・35√3 で、

 BD/BC=(AB/2)/BC=5/16 ,CD/BC=1-5/16=11/16 、

 BF/AB=(BC/2)/AB=4/5 ,AF/AB=1-4/5=1/5 です。

 チェバの定理より (CE/EA)(AF/FB)(BD/DC)=1 、AE/EC=(AF/FB)(BD/DC)=(1/4)(5/11)=5/44 、

 よって、AE/AC=5/49 ,EC/AC=44/49 でも求められます。


[解答2]

 △AFE/△ABC=AF・AE/(AB・AC)=(ACcosA)・(ABcosA)/(AB・AC)=cos2A になります。

 同様にして、 △BDF/△ABC=cos2B ,△CED/△ABC=cos2C です。

 従って、

 △DEF/△ABC=1-cos2A-cos2B-cos2C

 BC:CA:AB=8:7:5 で、 余弦定理より、 cosA=(72+52-82)/(2・7・5)=1/7 ,

 cosB=(52+82-72)/(2・5・8)=1/2 ,cosC=(82+72-52)/(2・8・7)=11/14 です。

 また、いちばん簡単な角の正弦は、sinB=(√3)/2 になります。

 △ABC=(1/2)・AB・BCsinB=(1/2)・35・56(√3)/2=35・14(√3) だから、

 △DEF=△ABC・(1-cos2A-cos2B-cos2C)=35・14(√3)・{1-(1/7)2-(1/2)2-(11/14)2}

  =35・14(√3)・(1-1/49-1/4-121/196)=35・14(√3)・(11/98)=55√3 です。

 なお、

 △DEF/△ABC=1-cos2A-cos2B-cos2C=1-cos2A-(1+cos2B)/2-(1+cos2C)/2

  =-cos2A-(cos2B+cos2C)/2=-cos2A-cos(B+C)cos(B-C)

  =cosAcos(B+C)+cosAcos(B-C)=cosA{cos(B+C)+cos(B-C)}=2cosAcosBcosC と変形しておけば、

 △DEF=2△ABC・cosAcosBcosC=2・35・14(√3)・(1/7)(1/2)(11/14)=55√3 です。

 また、

 BC:CA:AB=8:7:5 より sinA=8k,sinB=7k,sinC=5k とおけば 7k=(√3)/2 、k=(√3)/14 で、

 △DEF/△ABC=1-cos2A-cos2B-cos2C=1-cos2A+1-cos2B+1-cos2C-2

  =sin2A+sin2B+sin2C-2=138k2-2=11/98 、

 △DEF=△ABC・11/98=35・14(√3)・11/98=55√3 です。


[解答3]

 AE=ABcosA,AF=ACcosA で ∠A が共通だから、△ABC∽△AEF で相似比は 1:cosA になり、

 EF=BCcosA 、同様にして、 FD=CAcosB ,DE=ABcosC です。

 BC:CA:AB=8:7:5 で、 余弦定理より、 cosA=(72+52-82)/(2・7・5)=1/7 ,

 cosB=(52+82-72)/(2・5・8)=1/2 ,cosC=(82+72-52)/(2・8・7)=11/14 だから、

 EF=56・1/7=8 ,FD=49・1/2=49/2 ,DE=35・11/14=55/2 です。

 (8+49/2+55/2)/2=30 だから、ヘロンの公式により、

 △DEF=√{30(30-8)(30-49/2)(30-55/2)}=√{30・22・(11/2)・(5/2)}=55√3 です。


[解答4]

 △ABE∽△ACF より AB:AC=AE:AF 、AB:AE=AC:AF 、∠A が共通だから、△ABC∽△AEF です。

 同様にして、 △ABC∽△DBF ,△ABC∽△DEC です。

 △AEF∽△DBF∽△DEC∽△ABC だから、EF:FA:AE=BF:FD:DB=EC:CD:DE=BC:CA:AB=8:7:5 、

 EF=8x,FA=7x,AE=5x,BF=8y,FD=7y,DB=5y,EC=8z,CD=7z,DE=5z とおきます。

 BD+DC=BC より 5y+7z=56 ,CE+EA=CA より 8z+5x=49 ,AF+FB=AB より 7x+8y=35 、

 これを連立して、x=1,y=7/2,z=11/2 を得ます。

 EF=8x=8 ,FD=7y=49/2 ,DE=5z=55/2 です。

 (8+49/2+55/2)/2=30 だから、ヘロンの公式により、

 △DEF=√{30(30-8)(30-49/2)(30-55/2)}=√{30・22・(11/2)・(5/2)}=55√3 です。


☆ 一般化するとき、△DEF=(2cosAcosBcosC)△ABC と使うと簡単です。

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Comments 20

There are no comments yet.
古い人  
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今日の花はショウジョウハカマですね。

此の花も私は好きで栽培していますが。
種類が多く有りますね。
ナイス、

ニリンソウ  
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ショウジョウバカマが起きだしましたね!
花火のようにまぁるくなるのもあと数日。

ナイス

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

今日はよいお天気ですねぇ~爽やかです(o^-^o) ウフッ

私も好きなお花です゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜

ナイス!☆

tsuyoshik1942  
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「解答1の前半部」でした。
三平方を用い、忠実に(何の工夫もこらせず)種種の比や値を求めました。

一般化の式、きれいですね!

アキチャン  
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おはようございます。
春らしいですね~♪ (o^-^o)ナイス!

樹☆  
No title

猩々・・・調べてみたら面白い名前ですね。
「中国の想像上の動物で猿のような顔をもち、毛は紅色。
「大酒飲み」らしい。」
花をこの”猩猩”に見立てているとか。。。
こんなに可愛いのに・・

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも、ピタゴラスでの解答1でしたが...
解答2に気づきたかったです...^^;
奇麗な関係式になるんですねぇ☆
Min△DEF=0...直角三角形のときとすぐわかりますね^^...
ま、当たり前だけど...Orz~

uch*n*an  
No title

これは,いろいろな解法を思い付く問題でした,そこで,却ってまとめ方に迷いました。
結局,私は三つの解法にしました。
(解法1)は,[解答1]の前半と同じ。
(解法2)は,[解答1]の後半のように B=60゚ を求めチェバの定理を使いましたが,
面積の求め方が少し違い,△DEF = △BEF * CD/BC + △CEF * BD/BC を使いました。
(解法3)は,EF=BCcosA などを求めるのにも余弦定理を使いましたが,[解答3]と同じ。
[解答2]経由の☆にも気付いていました。
ただ,[解答2]の最後の正弦定理を使う解法には気付きませんでした。
それと,[解答4]にも気付きませんでした,三角関数なしで EF などが求まるのがいいですね。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

大変遅い訪問です

ショウジョウバカマ 花が下向きなのですね
可愛い花ですね 好きな花だけの事ありますね ナイス

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴殿にとってもお好きな花なのですね。
このピンクの花にも春を感じます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女のお好きな山野草ですね。
この花にとっても眠りから覚めるのが春ですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花の文化園に咲いていました。
葛城山の登山道で見たこともありますが、もう少し後の時期だったと思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
一般化の式、覚えやすい形をしていますね。
もちろん、覚えても使う機会はないでしょうが……。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
春を感じさせる花の1つです。
いろんな花が咲く季節になってきましたね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
空想上の動物の猩猩を調べられたのですね。
酒を飲んでこの花のようにピンクになったのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
解答を作っていたら綺麗な関係式が出てきました。
このような式が出ると、嬉しいものです。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私もいろいろ考えてどのような解法がいいのか迷いました。
直角三角形がたくさんあるので、三角比を使うことをまず考えますが、
それを避けたのが[解答4]でした。

ヤドカリ  
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こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
俯き加減の可愛い花です。
春を待っていたように咲く花はどれも好きです。
特に野草は華美でないのがいいですね。

さっちゃんこ  
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こんばんは
ショウジョバカマは昨年吉野で始めてみることが出来ました
とても可愛くて綺麗な花ですね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
吉野といえば桜ですね。桜のついでにこの花を見ることができればいいですね。
季節的にはもう少し後だったのではないでしょうか。