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[答554] 長さの和

ヤドカリ

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[答554] 長さの和


 円に内接する四角形ABCDがあって、AB=11,BC=12,CD=7,DA=4 のとき、

 対角線AC,BDの交点をPとして、AP+BP=?


[解答1]

 余弦定理より、AC2=112+122-2・11・12・cos∠ABC=265-264cos∠ABC 、

 余弦定理より、AC2=42+72-2・4・7・cos∠ADC=65-56cos∠ADC 、

 また、∠ABC+∠CDA=180゚ だから、-cos∠CDA=cos∠ABC になります。

 よって、AC2=65+56cos∠ABC=265-264cos∠ABC 、

  320cos∠ABC=200 、cos∠ABC=5/8 となって、

 AC2=65+56cos∠ABC=65+56(5/8)=100 、AC=10 となります。

 トレミーの定理により、AC・BD=AB・CD+AD・BC 、10BD=11・7+4・12 、BD=25/2 を得ます。

 次に、

 BP:PD=△ABC:△ADC=11・12:4・7=33:7 だから、BP=(33/40)BD=(33/40)(25/2)=165/16 、

 AP:PC=△BAD:△BCD=11・4:12・7=11:21 だから、AP=(11/32)AC=(11/32)・10=55/16 、

 よって、AP+BP=55/16+165/16=55/4 になります。


[解答2]

 BP:PD=△ABC:△ADC=11・12:4・7=33:7 、AP:PC=△BAD:△BCD=11・4:12・7=11:21 、

 △PAD∽△PBC より、PA:PB=AD:BC=4:12=1:3=11:33 だから、

 PA=11k,PB=33k,PC=21k,PD=7k とします。

 トレミーの定理により、AC・BD=AB・CD+AD・BC だから、

 (11k+21k)(33k+7k)=11・7+4・12 、1280k2=125 、k=5/16 を得ます。

 よって、AP+BP=11k+33k=44k=44・5/16=55/4 になります。


[解答3]

 △PAD∽△PBC より、 PA:PB=PD:PC=AD:BC=4:12=1:3 だから、PB=3PA,PC=3PD になります。

 △PAB∽△PDC より、PA:PD=AB:DC=11:7 だから、

 PA=11k,PD=7k とおけて、PB=33k,PC=21k になります。

 トレミーの定理により、AC・BD=AB・CD+AD・BC だから、

 (11k+21k)(33k+7k)=11・7+4・12 、1280k2=125 、k=5/16 を得ます。

 よって、AP+BP=11k+33k=44k=44・5/16=55/4 になります。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

 円に内接する四角形ABCDの対角線の交点をPとするとき,

 AP:CP に関しては,AP:CP=△ABD:△CBD=AB・AD:CB・CD ,

 AP:BP に関しては,△APDと△BPCの相似比で AP:BP=AD:BC=AB・AD:BA・BC ,

 BP:DP に関しても,BP:DP=△BCA:△DCA=BA・BC:DC・DA ,

 AP:BP:CP:DP=AD・AB:BA・BC:CB・CD:DC・DA を愛用しています.

 ( 本問では、AP:BP:CP:DP=4・11:11・12:12・7:7・4=11:33:21:7 です )

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

「解答3」でした。
すんなりゴールできた、数少ない一問です。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
同じく[解答3]でした♪
比較的悩まず ^^ 解けた方ですが...いずれにしても...
トレミーの定理を知らなきゃできないんでしょうかしら...^^;...Orz~

アキチャン  
No title

おはようございます。
マンサクに似てますね(o^-^o)
黄色いお花が 青空に映えますね♪ナイス!

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

青い空と、トサミズキ、リンクしてとっても綺麗です゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
今日は凄い風ですねね~まだ雨☝(◔ิ_◔)☂は振ってませんが^^;

ナイス!☆

Yasuko  
No title

スイマセンm(__)m 誤字あり

uch*n*an  
No title

これは比較的容易な問題でした。余弦定理を使う誘導をつければセンター試験にもよさそうです。
私の解法は四つ。
(解法1)は,余弦定理を BD にも使い,トレミーの定理なしの[解答1]と同じ。
(解法2)は,AP,BP を求めずに AP + BP を直接に求めようとする解法です。
しかし,値がもう一つ出てきてしまい,
それを排除するのに AP,BP 又は同じことですが AP - BP を求めることになり,もう一つでした。
(解法3)は,相似の代わりに方べきの定理を使いましたが,[解答2]とほぼ同じ。
(解法4)は,[解答3]と同じでした。

ところで,上記のいずれの解答でもトレミーの定理が重要ですが,
今の中学又は高校では習う,少なくとも知るきっかけを与えられる,のでしょうか?
私の頃は習った記憶はなく,実際知りませんでしたし考えるきっかけもなく,
この定理を知ったのは大人になって40歳を過ぎてからだったような気がします。

なお,明日は少し忙しくなりそうなので,参加が遅くなるかも知れません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
この花もよく見られる季節になりましたね。
近づいてみると花の雰囲気が違ってきます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
マンサク、サンシュユ、など遠目には区別できなくても、黄色は目立ちます。
レンギョウやミツマタも黄色が目立ちます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
確かにトサミズキとヒュウガミズキの区別は難しいです。
明日はヒュウガミズキの写真を使う予定ですので、比べて下さいね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
解く方はそんなに難しくないと思います。
4辺が自然数で、対角線が有理数になる例を見つけるのは、
けっこう難しいですョ。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
トレミーの定理を使わなくても、[解答1]のようにして、
両方の対角線を求められます。
面倒なのでトレミーを使いました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
小さな花が鈴なりになってい手とても可愛いですね
こうしてみるとやはり土佐ミズキは日向水木からすると
見応えがありますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
遠目には似ていますね。
でも近づくとぜんぜん違います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
青空を背景にすると花が綺麗にみえますね。
青い花が高い所に咲いているのを見たことがないのは、
綺麗に見えないからでしょうか?

たけちゃん  
No title

円に内接する四角形ABCDの対角線の交点をPとするとき,
AP:PCに関しては,△ABD:△CBD=(AB・AD):(CB・CD),
AP:PBに関しては,△APDと△BPCの相似比でAD:BC
とするのが普通かと思いますが,私は,
AP:BP:CP:DP=(AD・AB):(BA・BC):(CB・CD):(DC・DA)
を愛用しています.
この式は,上の2つの式と本質的には同じなのですが,
同じ対角線上でも別の対角線上でも統一的に扱え,覚えやすい
のがとりえです.

この式と,トレミーの定理もしくは2つの三角形ABD,CBDでの余弦定理の組合せから,
4辺が与えられた,円に内接する四角形の,対角線がらみの長さはすぐに得られます.

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
トレミーの定理は、今はレベルの高い教科書の証明問題として出ているようですが、
定理の名前は書いていないようです。
このブログでは、トレミーの定理やブラーマグプタの公式を遠慮なく使わせて頂いています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
トサミズキはよく見られますが、ヒュウガミズキはあまりみられません。
トサミズキの見ごたえに対して、ヒュウガミズキは控えめなのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
言われてみれば当然ですが、問題を解くときに役立ちそうです。
相似や面積を意識する必要がなくなりますね。

樹☆  
No title

こんばんは。
お花はよく見かけてましたが・・土佐ミズキというのですね。春がきた~って感じがします。。
これからたくさんのお花に出会えますね。
ナイスです

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
トサミズキはよく見かけますか。
ツリガネがまとめて吊るしてあるような形です。