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[答555] 面積が最大の等脚台形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答555] 面積が最大の等脚台形


 半径が 10 の円と 弦ABがあり、等脚台形ACDBの面積が最大になるように、ABに平行な弦CDを描きます。

 AB=5√5-5 とすると、CD=?


[解答1]

 円の中心をOとします。

 Oが等脚台形ACDBの外部にあれば面積が最大になりませんので、

 ∠AOB=α,∠COD=θ,0<α<π,0<θ≦π としても構いません。

 また、sin(α/2)=AB/(2・10)=(5√5-5)/20=(√5-1)/4 、α/2=π/10 ,α=π/5 です。

 ( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-976.html 参照)

 等脚台形ACDBの面積を S(θ) とすれば、

 S(θ)=(1/2)・102sin(π/5)+(1/2)・102sinθ+2・(1/2)・102sin(9π/10-θ/2)

  =50{sin(π/5)+sinθ+2sin(9π/10-θ/2)}

 S'(θ)=50{cosθ-cos(9π/10-θ/2)}=-100sin(θ/4+9π/20)sin(3θ/4-9π/20)

 0<θ≦π より、9π/20<θ/4+9π/20≦7π/10 ,sin(θ/4+9π/20)>0 だから、

 0<θ<3π/5 のとき S'(θ)>0 ,3π/5<θ<π のとき S'(θ)<0 だから、

 S(θ) は θ=3π/5 のときに最大になります。

 このとき、CD=2・10sin(θ/2)=20sin(3π/10)=20・(√5+1)/4=5√5+5 になります。


 S(θ)=50{sin(π/5)+sinθ+2sin(9π/10-θ/2)} で、微分しないで最大値を求めるには、

 [答47]指数方程式( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-143.html )で使った考えで、

 S(θ)=50sin(π/5)+150{sinθ+2sin(9π/10-θ/2)}/3 、

 y=sin(x) のグラフにおいて、P(θ,sinθ),Q(9π/10-θ/2,sin(9π/10-θ/2)) とし、

 PQを 2:1 に内分する点(P,Q が一致するときは P)を R とすれば、

 R(3π/5,{sinθ+2sin(9π/10-θ/2)}/3) になります。

 0<θ<π において y=sin(x) のグラフは上に凸だから、

 P,Q が一致するとき、R の y座標 (sinθ+2sin(9π/10-θ/2))/3 は最大になり、

 θ=9π/10-θ/2 すなわち θ=3π/5 のとき S(θ) も最大になります。

☆ 等脚台形の条件なしでも、グラフ上の3点を結ぶ三角形の重心を考えれば同じことです。


[解答2]

 [272]最大面積と直径( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-808.html )にも

 ありましたように、等脚台形の条件なしでも、

 BD≠CD とすれば、Aを含まない弧BC上に BM=CM を満たす点M をとれば、△DBC<△MBC だから、

 四角形ACDBの面積は最大になりません。

 AC≠DC とすれば、Bを含まない弧AD上に AN=DN を満たす点N をとれば、△CAD<△NAD だから、

 四角形ACDBの面積は最大になりません。

 よって、四角形ACDBの面積が最大になるのは、AC=CD=DB のときで、四角形ACDBは等脚台形です。

 弧ABの円周角をαとすれば、sinα=AB/(2・10)=(5√5-5)/20=(√5-1)/4=sin18゚ 、

 弧CDの円周角は (180゚-α)/3=(180゚-18゚)/3=54゚ だから、

 CD=2・10sin54゚=20・(√5+1)/4=5√5+5 になります。


[解答3]

 [解答2]のように、等脚台形ACDBの面積が最大になるのは、AC=CD=DB のときです。

 AC=CD=DB=x ,AD=BC=2y とすれば、 △ACD=y√(x2-y2) だから、

 4・10・y√(x2-y2)=x・x・2y 、20√(x2-y2)=x2 、400x2-400y2=x4 、x4-400x2+100・4y2=0 、

 トレミーの定理を用いて、x4-400x2+100(ABx+x2)=0 、 x3-300x+500(√5-1)=0 、

 x=5t とおけば、 125t3-1500t+500(√5-1)=0 、

 t3-12t+4(√5-1)=0 、t3-12t+(√5+1)(√5-1)2=0 、

 {t-(√5+1)}{t2+(√5+1)t-(√5-1)2}=0 、 {x-5(√5+1)}{x2+5(√5+1)x-25(√5-1)2}=0 、

 この方程式は2つの正の解と1つの負の解をもちますが、

 正の解の大きい方が求める答で、小さい方は C,D が劣弧AB上にあるときです。

 よって、CD=5(√5+1)=5√5+5 です。

☆ 三角関数を避けたために、非常に困難な因数分解をすることになりました。

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Comments 20

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アキチャン  
No title

おはようございます。
この頃に咲くお花はみんな似ていますね(o^-^o)
杏のお花、綺麗ですね♪ ナイス!

こっこちゃん  
No title

おはようございます

あんずの花なのですね

優しい色で 可愛いですね ナイス

ニリンソウ  
No title

薄紅の桜かうめか?
杏子なのですかー可愛いなぁ~お初です!
春・・・・いいね

ナイス

uch*n*an  
No title

これは,最初個人的には苦労しましたが以前に類題があったのを思い出し少し楽になりました。
そんなわけで,私の解法は三つ+α。
(解法1)は,円の中心を O(0,0),A(-a,b),B(a,b),C(-c,-h),D(c,-h),と座標を入れ,
□ACDB = (a + c)(b + h) で c = x とし □ACDB = S(x) を x で微分する,というものです。
[解答3]のようにかなり難しい因数分解が必要になりましたが,何とか。
(解法2)は,[解答1]の微分を使わない方と同じ。
(解法3)は,[解答2]と同じ。ただ,個人的には少しあいまいな感じが気になる解法です。
図的に偏微分をしている,と思えばよく,プラーマグプタの公式などで厳密にできそうですが。

uch*n*an  
No title

+αは,失敗作一つと解法としてまとめなかった二つ。
失敗作は,トレミーの定理を使うものですが,条件の絞込みにミスがあり間違っていました。
解法としてまとめなかった一つ目は,(解法1)と同様に座標をいれて,
x^2 + y^2 = 100,(x + a)(y + b) = S で S を最大とする x,y を求める,というものです。
二つの曲線が接する場合になり,(解法1)や[解答3]と同じような方程式を解くことになります。
二つ目は,[解答1]の微分を使う方と同じです。

Yasuko  
No title

○o。/((-_-メ))\。o○参上 フッ

アンズのお花なんですか
初見かもしれません^^;
ピンクの綺麗なお花ですねぇ~☆^(o≧∀≦)oニパッ

ナイス!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
残りの辺が、円に近いときが最大の面積になるはずといったいい加減さで...^^;...ある弦を底辺にしたときの最大の三角は二等辺三角形だから、残りの辺は等しいわけでした...^^;
で...とにかく、θを探し...cos(π/5)=(1+√5)/4=t を見つけ...^^
(2π-(π/5))/3=3π/5
チェビシェフの多項式から...
cos(3π/5)=4t^3-3t=(1-√5)/4 も出すことなく計算させたけど...^^;
√(2*10^2*(1-(1-√5)/4))=(10/2)*√(6+2√5)=5*(1+√5) とすればよかったのね...cos(θ)=(1+√5)/4 だけからだと無理でした...^^;;

また...一般に...θ=120°-α/3=360°/n...
n(360°-α)=1080, 1080=2^3*3^3*5 だから...
正n角形で考えられる場合は...α>0...n≧4
つまり...4*4*2-3=29通りしかないってことなのね...^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今日はこちらも昼前から雨です。
その前に墓参りを済ませておきました。
ところで、
樹ちゃんの本名は分かりませんが、「杏子」というような名前だったら、
もっと杏の花を注意して視ていたことでしょうね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントとお褒めの言葉を有難う御座います。
ネタは以前にも使用したものですが、
問題にも答にも5がたくさんでてくるものを思いつき、出題に至りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
梅・桃・李・桜そして杏、どれもバラ科の花でよく似ていますね。
どれも季節の便りです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
杏のピンクの花は優しくしっかりした感じがします。
密集して咲く姿に好感をもてます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
馴染みないと思いますが、可愛い花です。
ネームプレートがなければ、私は桃と間違えていたかも知れません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
変数をどこにとるかによって式が変わりますが、
微分すればなんとかなりそうな問題です。
ただ、角の値に気づかなければ、どのように解いても計算は面倒そうです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この時期、長居植物園の薔薇園の近くに綺麗に咲きます。
杏の花を見るのも目的で訪れました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
3倍角の公式で方程式は出てきますが、計算は大変ですね。
正n角形で考えられる場合は、
角度が度単位で整数になる必要もなく、その意味ではいろいろ考えられますが、
弦の長さが簡単に表される場合は極めて少なく、
AB=半径 でも平方根では表されません。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
意味のないことを考えていました...^^;
cos30°=1/2...
330=3*11*2*5, 30=2*3*5
正12角形 のときで...面白みに欠けるし...
cos15°=(√2+√6)/4...345=3*5*23,15=3*5
で...正24角形のとき...
36°...360-36=324
324=3^4*2^2
36=3^2*2^2...から...3,9 つまり...四角形か10角形のときくらいしかないってことですね ^^;後者は...正10角形そのもの...
45°なら...315=3^2*5*7, 45=3^2*5
正8角形のときしかないし...
60°...300=3*2^2*5^2,60=2^2*3*5
正6角形のときしかなく...↓

スモークマン  
No title


75°...285=3*5*19,75=5^2*3...20角形のとき
90°...270=3^3*2*5,90=3^2*2*5
正4角形=正方形...
105°...255=5*3*17,105=3^3*5...18角形のとき
疲れてきた...Orz...

けっきょく...36°のときの四角形のケースが唯一面白みのあるフォルムだったってことに思えてきました ^^

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
先日私も杏の花を撮りました
梅によく似た実が成りますが花は梅と比べると少し大きいように思えますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
1つの弦の中心角を 2π/n とすれば、
他の3つの弦の中心角は (2π-2π/n)/3=(2π/3)(1-1/n) だから、
n=4,5,8,10,20 くらいのものでしょうか。
n=4 のときは非常に簡単、n=5,20 のときは2重根号が必要で、
問題として適当なのは n=8,10 のときだと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
貴女も杏の花の写真を撮られましたか。
実は分かり易いですが、花は区別が難しいです。