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[答556] 放物線と直角二等辺三角形

ヤドカリ

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[答556] 放物線と直角二等辺三角形


 xy平面上の下に凸の放物線 y=ax2 上の点P,Qでの接線の交点をRとして、△PQRを作ります。

 PQ=PR=3/2 ,∠QPR=90゚ のとき、a=?


[解答1]

 P(p,ap2),Q(q,aq2) とします。

 y=ax2 は y軸に関して対称だから、p>q としても一般性を失いません。

 PQの傾きは、(ap2-aq2)/(p-q)=a(p+q) 、

 y'=2ax だから、PRの傾きは 2ap,QRの傾きは 2aq です。

 PQ⊥PR だから、2ap・a(p+q)=-1 、q=-1/(2a2p)-p 、

 PR,QR のなす角は 45゚ だから、 tan45゚=(2aq-2ap)/(1+2ap・2aq) 、2aq-2ap=1+4a2pq 、

 2a{-1/(2a2p)-p}-2ap=1+4a2p{-1/(2a2p)-p} 、-1/(ap)-2ap-2ap=1-2-4a2p2

 4a3p3-4a2p2+ap-1=0 、(4a2p2+1)(ap-1)=0 、

 ap=1 、p=1/a 、q=-1/(2a2p)-p=-1/(2a)-1/a=-3/(2a) となって、

 P(1/a,1/a),Q(-3/(2a),9/(4a)) になります。

 PQ2={5/(2a)}2+{5/(4a)}2=125/(16a2) 、 125/(16a2)=9/4 、a2=125/36 、a=(5√5)/6 です。


[解答2]

 Pが原点に移るように平行移動し、放物線が y=ax2+bx に移るとします。

 y'=2ax+b だから、PRの傾きは b、PQ⊥PR だから、QRは y=-x/b です。

 ax2+bx=-x/b とおけば、x=0,-(b+1/b)/a だから、Qのx座標は -(b+1/b)/a です。

 よって、QRの傾きは、-2a(b+1/b)/a+b=-(b+2/b) になります。

 PR,QR のなす角は 45゚ だから、 tan45゚={-(b+2/b)-b}/{1-(b+2/b)b} 、-2b-2/b=1-b2-2 、

 b3-2b2+b-2=0 、(b-2)(b2+1)=0 、b=2 、Q(-5/(2a),5/(4a)) になります。

 PQ2={5/(2a)}2+{5/(4a)}2=125/(16a2) 、 125/(16a2)=9/4 、a2=125/36 、a=(5√5)/6 です。


[解答3]

 P(p,ap2),Q(q,aq2),PQの中点をM とします。

 y=ax2 は y軸に関して対称だから、p>q としても一般性を失いません。

 y'=2ax だから、PRの傾きは 2ap 、PR は y-ap2=2ap(x-p) 、y=2apx-ap2 で、

 同様に、QR は y=2aqx-aq2 です。

 2apx-ap2=2aqx-aq2 とおけば、2a(p-q)x=a(p+q)(p-q) 、x=(p+q)/2 だから、

 Rの x座標は (p+q)/2 です。(これはよく知られた放物線の性質です)

 よって、MR は軸に平行で、MP:PR:RM=1:2:√5 で、PRの傾きは 2 ,QRの傾きは -3 になります。

 2ap=2 ,2aq=-3 、p=1/a ,q=-3/(2a) 、p-q=1/a+3/(2a)=5/(2a) です。

 {5/(2a)}・{(√5)/2}=3/2 だから、(5√5)/(4a)=3/2 、12a=5√5 、a=(5√5)/6 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
樹☆  
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わぁ~
可愛いさくら・・オカメ桜ですか?
こんなにいっぱい咲いて・・
桜前線北上・・そちらが早い^^ナイスです

古い人  
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今日の花はモモの花か何ですか。

勉強不足ですいません。
ナイス、

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

わぁ~~綺麗です゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
桜・桃・・・??
私も、勉強不足です(~_~;)

ナイス!☆

ひとりしずか  
No title

↑おかめ桜というのもあるんですね~
カンヒザクラとマメザクラを交配したもだそうですが・・
ブログ開設するまでは数種類と思っていましたが~

花の中央部が色濃く華やかに~きれいですね~~~
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

四苦八苦後、、RMが軸に平行であることに気づき、なんとかゴールできました。
>Rの x座標は (p+q)/2 です。(これはよく知られた放物線の性質です)
↑自分は知らなかった、もしくは忘れていました。

今また、「558問」で苦しんでいます。

こっこちゃん  
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こんにちは

オカメサクラ 満載で咲いてますね

凄く豪華な感じですよね ナイス

スモークマン  
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グーテンターク ^^
そっかぁ...tan45°を使えば簡単になったんだ☆
わたしゃ...連立ピタゴラスを解かせました...^^;...Orz...

同じく...[558問]...閃き降臨せず...^^;;...

uch*n*an  
No title

これは,高校レベルの標準的な問題で,大学入試によさそうです。
解法はいろいろありますが,個人的には同じように感じたので,まとめたのは一つだけでした。
それはかなり素直な解法で,P(p,ap^2),Q(q,aq^2) とおき,R((p+q)/2,apq) を求め,
後は条件をそのまま忠実に式にして解く,というものでした。
R((p+q)/2,apq) を使った点は[解答3]に似ていますが,計算を主体にした点は[解答1]に近いです。
法線の方程式も考えましたが,これは[解答2]に近いようです。
また,P での 90°回転を考えれば,R((p+q)/2,apq) = R(p-(aq^2-ap^2),ap^2+(q-p)) なので,
[解答3]のように図形的な解釈を経由しなくとも式の上ですぐに同じことが分かりますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オカメ桜をよくご存知ですね。
下にひとりしずかさんが書いてくれているように、
寒緋桜とマメ桜の交配種で、小さな花が密集していて綺麗です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
サクラ、鮮やかなピンク色が良いですね(o^-^o)
ナイス!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
オカメ桜です。寒緋桜とマメ桜を交配してできたものだそうです。
桜にしては花が小さく多いですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オカメ桜です。長居公園に咲いています。
ここにはもとになったカンヒ桜もマメ桜もありますが、
マメ桜は咲いていませんでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オカメ桜を調べて下さったのですね。
寒緋桜のDNAを受け継いでいるからか少し色が濃いです。
たくさんまとまって咲くのが見事です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
積分してみればすぐに分かりますが、
角度に関わらず、放物線は△PQRの面積を 2:1 に分けることも
よく知られた放物線の性質です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オカメ桜は花はやや小ぶりですが、かたまってたくさん咲くので見ごたえがあります。
咲き誇っていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ちょっとした工夫で簡単になりますよね。
気づいたら楽しいものです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]は下3行だけなら検算用だと思います。
大学入試でこの3行だけを書いたら、この問題の配点のうちの
どれ位の点数を貰えるのか興味あるところです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
濃い色もいいのですが、近くに寒緋桜が咲いていたので、
そんなに色はそれほど目立ちませんでしたが、
花の数が多いのが印象に残りました。

ニリンソウ  
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このさくらがオカメさん?
可愛らしいのですね、初めてみるようです
この地では見れないと思います

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
オカメザクラ、小ぶりの花が密集していて他の桜とは雰囲気が違います。
綺麗でした。