[答556] 放物線と直角二等辺三角形
[答556] 放物線と直角二等辺三角形
xy平面上の下に凸の放物線 y=ax2 上の点P,Qでの接線の交点をRとして、△PQRを作ります。
PQ=PR=3/2 ,∠QPR=90゚ のとき、a=?
[解答1]
P(p,ap2),Q(q,aq2) とします。
y=ax2 は y軸に関して対称だから、p>q としても一般性を失いません。
PQの傾きは、(ap2-aq2)/(p-q)=a(p+q) 、
y'=2ax だから、PRの傾きは 2ap,QRの傾きは 2aq です。
PQ⊥PR だから、2ap・a(p+q)=-1 、q=-1/(2a2p)-p 、
PR,QR のなす角は 45゚ だから、 tan45゚=(2aq-2ap)/(1+2ap・2aq) 、2aq-2ap=1+4a2pq 、
2a{-1/(2a2p)-p}-2ap=1+4a2p{-1/(2a2p)-p} 、-1/(ap)-2ap-2ap=1-2-4a2p2 、
4a3p3-4a2p2+ap-1=0 、(4a2p2+1)(ap-1)=0 、
ap=1 、p=1/a 、q=-1/(2a2p)-p=-1/(2a)-1/a=-3/(2a) となって、
P(1/a,1/a),Q(-3/(2a),9/(4a)) になります。
PQ2={5/(2a)}2+{5/(4a)}2=125/(16a2) 、 125/(16a2)=9/4 、a2=125/36 、a=(5√5)/6 です。
[解答2]
Pが原点に移るように平行移動し、放物線が y=ax2+bx に移るとします。
y'=2ax+b だから、PRの傾きは b、PQ⊥PR だから、QRは y=-x/b です。
ax2+bx=-x/b とおけば、x=0,-(b+1/b)/a だから、Qのx座標は -(b+1/b)/a です。
よって、QRの傾きは、-2a(b+1/b)/a+b=-(b+2/b) になります。
PR,QR のなす角は 45゚ だから、 tan45゚={-(b+2/b)-b}/{1-(b+2/b)b} 、-2b-2/b=1-b2-2 、
b3-2b2+b-2=0 、(b-2)(b2+1)=0 、b=2 、Q(-5/(2a),5/(4a)) になります。
PQ2={5/(2a)}2+{5/(4a)}2=125/(16a2) 、 125/(16a2)=9/4 、a2=125/36 、a=(5√5)/6 です。
[解答3]
P(p,ap2),Q(q,aq2),PQの中点をM とします。
y=ax2 は y軸に関して対称だから、p>q としても一般性を失いません。
y'=2ax だから、PRの傾きは 2ap 、PR は y-ap2=2ap(x-p) 、y=2apx-ap2 で、
同様に、QR は y=2aqx-aq2 です。
2apx-ap2=2aqx-aq2 とおけば、2a(p-q)x=a(p+q)(p-q) 、x=(p+q)/2 だから、
Rの x座標は (p+q)/2 です。(これはよく知られた放物線の性質です)
よって、MR は軸に平行で、MP:PR:RM=1:2:√5 で、PRの傾きは 2 ,QRの傾きは -3 になります。
2ap=2 ,2aq=-3 、p=1/a ,q=-3/(2a) 、p-q=1/a+3/(2a)=5/(2a) です。
{5/(2a)}・{(√5)/2}=3/2 だから、(5√5)/(4a)=3/2 、12a=5√5 、a=(5√5)/6 です。
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