[答556] 放物線と直角二等辺三角形

[答556] 放物線と直角二等辺三角形


　xy平面上の下に凸の放物線 y＝ax² 上の点P，Qでの接線の交点をRとして、△PQRを作ります。

　PQ＝PR＝3/2 ，∠QPR＝90ﾟ のとき、a＝？


[解答1]

　P(p，ap²)，Q(q，aq²) とします。

　y＝ax² は ｙ軸に関して対称だから、p＞q としても一般性を失いません。

　PQの傾きは、(ap²－aq²)/(p－q)＝a(p＋q) 、

　y'＝2ax だから、PRの傾きは 2ap，QRの傾きは 2aq です。

　PQ⊥PR だから、2ap･a(p＋q)＝－1 、q＝－1/(2a²p)－p 、

　PR，QR のなす角は 45ﾟ だから、 tan45ﾟ＝(2aq－2ap)/(1＋2ap･2aq) 、2aq－2ap＝1＋4a²pq 、

　2a{－1/(2a²p)－p}－2ap＝1＋4a²p{－1/(2a²p)－p} 、－1/(ap)－2ap－2ap＝1－2－4a²p² 、

　4a³p³－4a²p²＋ap－1＝0 、(4a²p²＋1)(ap－1)＝0 、

　ap＝1 、p＝1/a 、q＝－1/(2a²p)－p＝－1/(2a)－1/a＝－3/(2a) となって、

　P(1/a，1/a)，Q(－3/(2a)，9/(4a)) になります。

　PQ²＝{5/(2a)}²＋{5/(4a)}²＝125/(16a²) 、 125/(16a²)＝9/4 、a²＝125/36 、a＝(5√5)/6 です。


[解答2]

　Pが原点に移るように平行移動し、放物線が y＝ax²＋bx に移るとします。

　y'＝2ax＋b だから、PRの傾きは b、PQ⊥PR だから、QRは y＝－x/b です。

　ax²＋bx＝－x/b とおけば、x＝0，－(b＋1/b)/a だから、Qのｘ座標は －(b＋1/b)/a です。

　よって、QRの傾きは、－2a(b＋1/b)/a＋b＝－(b＋2/b) になります。

　PR，QR のなす角は 45ﾟ だから、 tan45ﾟ＝{－(b＋2/b)－b}/{1－(b＋2/b)b} 、－2b－2/b＝1－b²－2 、

　b³－2b²＋b－2＝0 、(b－2)(b²＋1)＝0 、b＝2 、Q(－5/(2a)，5/(4a)) になります。

　PQ²＝{5/(2a)}²＋{5/(4a)}²＝125/(16a²) 、 125/(16a²)＝9/4 、a²＝125/36 、a＝(5√5)/6 です。


[解答3]

　P(p，ap²)，Q(q，aq²)，PQの中点をM とします。

　y＝ax² は ｙ軸に関して対称だから、p＞q としても一般性を失いません。

　y'＝2ax だから、PRの傾きは 2ap 、PR は y－ap²＝2ap(x－p) 、y＝2apx－ap² で、

　同様に、QR は y＝2aqx－aq² です。

　2apx－ap²＝2aqx－aq² とおけば、2a(p－q)x＝a(p＋q)(p－q) 、x＝(p＋q)/2 だから、

　Rの x座標は (p＋q)/2 です。(これはよく知られた放物線の性質です)

　よって、MR は軸に平行で、MP：PR：RM＝1：2：√5 で、PRの傾きは 2 ，QRの傾きは －3 になります。

　2ap＝2 ，2aq＝－3 、p＝1/a ，q＝－3/(2a) 、p－q＝1/a＋3/(2a)＝5/(2a) です。

　{5/(2a)}･{(√5)/2}＝3/2 だから、(5√5)/(4a)＝3/2 、12a＝5√5 、a＝(5√5)/6 です。

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