FC2ブログ

Welcome to my blog

[答558] 円弧と弦で囲まれた部分の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答558] 円弧と弦で囲まれた部分の面積


 図のような円に弦ACと弦BDが点Pで交わっています。

 ∠APB=60゚,PB=20,PC=50,PD=10 とすれば、図の水色の部分の面積は?


[解答1]

 まず、方べきの定理より、PA・PC=PB・PD 、50PA=20・10 、PA=4 になります。

 △PAB=(1/2)・PA・PB・sin60゚=(1/2)・4・20・sin60゚=20√3 、

 △PAD=(1/2)・PA・PD・sin120゚=(1/2)・4・10・sin60゚=10√3 です。

 余弦定理より、

 AB2=PA2+PB2-2・PA・PB・cos60゚=16+400-80=336 、AB=4√21 、

 AD2=PA2+PD2-2・PA・PD・cos120゚=16+100+40=156 、AD=2√39 です。

 また、△PAB∽△PDC で、相似比が PB:PD=2:5 だから、

 DC=(5/2)AB=10√21 ,△PDC=(25/4)△PAB=125√3 になります。

 次に、この円の中心を O,半径を R とします。

 3辺が a,b,c の三角形の面積をS,外接円の半径をR とすれば、4RS=abc だから、

 これを △ABD に適用して、 4R(20√3+10√3)=30(4√21)(2√39) 、R=2√273 になります。

 ∠AOB+∠COD=2∠ACB+2∠CBD=2∠APB=120゚ だから、

 扇形OAB+扇形OCD=πR2/3=4・273π/3=364π 、

 △OAB は AB を底辺とすると高さは √{R2-(AB/2)2}=√(1092-84)=12√7 、

 △OAB=(1/2)(4√21)(12√7)=168√3 、

 △OCD は CD を底辺とすると高さは √{R2-(CD/2)2}=√(1092-525)=9√7 、

 △OCD=(1/2)(10√21)(9√7)=315√3 となって、

 求める面積は、

 扇形OAB-△OAB+△PAB+扇形OCD-△OCD+△PCD=364π-168√3+20√3-315√3+125√3

  =364π-338√3 になります。


[解答2]

 この円の中心を O,半径を R とします。

 [解答1]のように、△PAB=20√3 ,△PDC=125√3 ,AB=4√21 ,DC=10√21 です。

 ∠AOB+∠COD=120゚ だから、AE=DC となるように 弧DC上に点E をとれば、

 ∠BOE=120゚ ,∠BAE=120゚ になります。

 余弦定理より BE2=AB2+AE2-2・AB・AE・cos120゚=336+2100+840=3276 、BE=2√819 、

 正弦定理より R=BE/(2sin120゚)=(2√819)/√3=2√273 、R2=4・273 、

 △ABE=(1/2)・AB・AE・sin120゚=(1/2)(4√21)(10√21)sin120゚=210√3 、

 △OBE=(1/2)・OB・OE・sin120゚=(1/2)R2sin120゚=(1/2)・4・273sin120゚=273√3 、

 扇形OBE=πR2/3=4・273π/3=364π 、

 求める面積は、

 扇形OBE-△OBE-△ABE+△PAB+△PCD=364π-273√3-210√3+20√3+125√3

  =364π-338√3 になります。


☆ 364π-338√3=558.10655…… です。


☆ ∠APB=θ(ラジアン),PA・PC=PB・PD=k,PA-PC=a,PB-PD=b とすれば、この部分の面積は、

 {k+(a2+b2-2ab・cosθ)/(4sin2θ)}θ-(a2cosθ+b2cosθ-2ab)/(4sinθ) になります。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

二つの扇形を合わせた中心角が120度であることに、気づけず2日間泥沼にはまっていました。

身分不相応に、√(r^2-x^2)の積分、ArcSinXから角度を求める方法等を模索し、結局、同じところをくるくる回っていました。
上記に気づいた後、計算は多少面倒でしたが、無事「558.1...」にたどり着きました。

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

紫モクレン✿綺麗に咲いてますねぇ~(゚∀゚)✿

お見事(。→‿◕。)☆

ナイス!☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
ハクモクレンも紫モクレンも 今 綺麗ですね(o^-^o)
ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,なかなか面倒な問題でした。
結局の所,ポイントらしいものは ∠AOB + ∠COD = 120°ぐらいで後は単純なのですが。
私の解法は三つ。
(解法1)は,余弦定理などを用い ∠AOB と ∠COD の三角比を求める解法。
(解法2)も,(解法1)と同様ですが,よりパターン化した計算でできる解法。
(解法3)は,余弦定理の他に正弦定理も用い ∠AOB と ∠COD の三角比を求める解法。
いずれも相似や様々な公式の使い方などでバリエーションがあり,[解答1]にも近くなります。
[解答2]は面白いですが,簡単とまではいきませんね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
この紫木蓮は 内側は真っ白の木蓮ですね
紫と白のコラボが綺麗な木蓮です
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そっか!!...2つの角の和=60°だから...中心角の和は120°なんですね...☆
それに気づけても解けなかったと思います...^^;
っていうか、それに気づけなきゃ解けなかったわけですけど...Orz...

たけちゃん  
No title

私はほぼ[解答2]でしたが,他の方も書かれているように,
結局最大のポイントは,「中心角の和は120°」…(*)であるように思います.
[解答1]で示されている
「∠AOB+∠COD=2∠ACB+2∠CBD=2∠APB=120゚ 」
は確かに明快で,決定版のように思いますが,
出題時にはこれは気付くことができず,
(理由付け部分は,回答には書きませんでしたが)
弦ACを平行に移動したとき,弧の一方は増加し,他方は同じだけ減少するので,
中心角の和は不変であることから(*)を得ました.

スモークマン  
No title


グーテンアーベントの間違いね...^^;;...
失礼しました...Orz~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
紫木蓮もよく見かけるようになりました。
少し開きかけた花が私は好きなのですが、うまく出会えました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
それは泥沼でしたね。それだけに、抜け出された時の嬉しさは一入でしょう。
ところで、泥鰌と称した方にとって、解散・総選挙は泥沼でしたね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
所々で見られるようになりましたね。
これは、都市緑化センターで見たものですが、近くの大仙公園にも咲いていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白木蓮も紫木蓮も花が大きくて見ばえがします。
少し後に咲く桜と違った美しさがあります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
弦が垂直に交われば算数問題ですが、
少し傾けるとどうなるのかと思って作った問題です。
どのように解いても面倒ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
紫木蓮は外側の紫が目立ちますが、なるほど内側の白とのコラボもいいですね。
同じ花を見ても感じ方が違うのが、参考になります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
弧を含む部分の面積は中心角が分からないと求められません。
この場合は2つの弧を合わせての中心角ですね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
2本の平行な弦を書けば、その平行線に挟まれる2つの弧の長さが等しいことは
小学生にでも分かる内容ですので、このほうが考えやすいと思います。
ただ、円周角を合わせる方が説明はし易いと思います。

ニリンソウ  
No title

紫モクレンの裏表不思議ですね!
夜には閉じるのかな、雨の時も?

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
夜はどうでしょうか、私には分かりません。
紫木蓮が咲いたと言えど、夜は寒いので出歩きません。
軟弱ですね。

樹☆  
No title

シモクレンも綺麗ですね。。
自由な愛って花言葉だそうです^^ナイスです

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
紫木蓮はこちらでは最盛期です。
「自由な愛」、紫木蓮のどのようなところがそんな言葉に繋がったのでしょうね。