FC2ブログ

Welcome to my blog

[答559] 頂点までの距離の和が最短

ヤドカリ

ヤドカリ



[答559] 頂点までの距離の和が最短


 AB=10,BC=17,∠ABC=60゚ の △ABCの内部に点Pをとるとき、 PA+PB+PC の最小値は?


[解答1]

 中図のように、正三角形ADBと正三角形BPQを作れば、△BPA≡△BQD なので、AP=DQ です。

 よって、PA+PB+PC=DQ+QP+PC になるので、D,Q,P,C が下図のように一直線上にあるとき、

 PA+PB+PC は最小になり、最小値は DC と等しくなります。

 △BCDで、BC=17,BD=10,∠DBC=120゚ だから 余弦定理より、

 DC2=172+102-2・17・10cos120゚=559 、DC=√559 です。


[解答2]

 中図のように、正三角形ADBと正三角形BPQを作れば、△BPA≡△BQD なので、AP=DQ です。

 よって、PA+PB+PC=DQ+QP+PC になるので、D,Q,P,C が下図のように一直線上にあるとき、

 PA+PB+PC は最小になり、∠BPA=∠BQD=120゚ になります。

 同様にして、PA+PB+PC は最小になるとき、∠BPC=∠CPA=∠APB=120゚ です。

 余弦定理より、BC2=PB2+PC2-2・PB・PCcos120゚ ,

  CA2=PC2+PA2-2・PC・PAcos120゚ ,AB2=PA2+PB2-2・PA・PBcos120゚ 、

 辺々加えて、BC2+CA2+AB2=2(PA2+PB2+PC2)+(PB・PC+PC・PA+PA・PB) です。

 また、△ABC=△PBC+△PCA+△PAB だから、

 △ABC=(1/2)・PB・PCsin120゚+(1/2)・PC・PAsin120゚+(1/2)・PA・PBsin120゚ 、

 (4√3)△ABC=3(PB・PC+PC・PA+PA・PB) 、

 よって、BC2+CA2+AB2+(4√3)△ABC=2(PA2+PB2+PC2)+4(PB・PC+PC・PA+PA・PB) 、

 2(PA+PB+PC)2=BC2+CA2+AB2+(4√3)△ABC 、

 PA+PB+PC=√{(BC2+CA2+AB2)/2+(2√3)△ABC} です。

 本問では、CA2=172+102-2・17・10cos60゚=219 、

 △ABC=(1/2)・17・10sin60゚=(85√3)/2 だから、

 PA+PB+PC=√{(172+219+102)/2+(2√3)(85√3)/2}=√559 です。


[参考]

 3つの頂点までの距離の和が最小になる点をシュタイナー点といいます。

 解答より、P は CD上の点になりますが、

 △ABCの外側に正三角形BECを作っても同様に P は AE上の点になり、

 △ABCの外側に正三角形CFAを作っても同様に P は BF上の点になりますので、

 CD,BF,AE は P で交わることになり、このうちの2本の交点として P を決めることができます。

 3つの角がすべて 120゚ 未満の三角形については、こうしてシュタイナー点を得られます。

 ( 120゚ 以上の角を含む三角形のシュタイナー点は最大角の頂点です )

 なお、この距離の和は、CD(=BF=AE) です。

 また、∠BPC=∠CPA=∠APB=120゚ を満たす点Pということもできます。

 Pは3つの正三角形の外接円の交点になりますが、それをフェルマー点といいます。

 3つの角がすべて 120゚ より小さい三角形のシュタイナー点とフェルマー点は一致します。

 ただ、文献・サイトによっては、シュタイナー点とフェルマー点を区別していない場合もあり、

 この区別が正しいかどうか、確信が持てず曖昧です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

最初、「PA^2+PB^2+PC^2の最小値」と勘違いしてしまいました。
間違いに気づいた後、同じ座標を用いた手法で取り組みましたが、挫折。結局、web検索に走ってしまいました。
解答説明図に、自力でたどり着きたかったです。

なお、自分が調べたサイトでも、二つの名前を見かけましたが、深く考えもせず、解答送信時にはフェルマー点と記しました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
ぎょ!!きれい、、とは決して言えないf(^。^;(笑)

こっこちゃん  
No title

おはようございます

↑の方が 言われるように ネコヤナギですね

猫のオッポの ように可愛いですね ナイス

Yasuko  
No title

☆。◕‿◕。)ノ♡☆,。・:*:・゚おはよ~☆彡

ネコヤナギ✿ 錦織公園ですか・・・

私は、ネコじゃらしと呼んでます(笑)

ナイス!☆

uch*n*an  
No title

これは,シュタイナー点又はフェルマー点を知っていれば比較的容易でしょう。
しかし,知らないとかなり苦労しそうな気がします。
初等幾何的には,恐らく,[解答1]が簡明だと思います。
もっとも,幾何学的な意味は,[解答2]又は[参考]の方が興味深いです。
また,大学レベルになりますが,偏微分を使うのが一番簡単だろう,と私は思います。
この計算結果をまとめると,
ベクトルPA/|ベクトルPA| + ベクトルPB/|ベクトルPB| + ベクトルPC/|ベクトルPC| = 0
とキレイに書け,これから ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°は容易に分かります。
なお,シュタイナー点とフェルマー点の区別に関しては私も同意見ですが,
これが正式なのかは私も分かりません。

uch*n*an  
No title

私の解法は三つ。
(解法1)は,初等幾何で通しましたが,[解答1]と同じ。
(解法2)は,[解答2]の方向ですが,(解法1)と同じではつまらないので,
補助円を描きトレミーの定理の拡張を使ってみました。
後半はこの問題の特殊性を利用しました。[解答2]の一般的な結果は面白いですね。
(解法3)は,以前にWebで見た方法で楕円を使うものです。
少しあいまいな感じはしますがなかなか面白く記憶に残っていました。
これと(解法2)の後半をつなげたものをご参考までに書いておきましょうか。

uch*n*an  
No title

(解法3)
まず,明らかに,△ABC は鋭角三角形であることが分かります。
ここで,PA = 一定 として考えると,P は A を中心とした 円A 上にありますが,
PB + PC が最小なのは,P が B,C を焦点とする楕円上にあり 円A と接する点です。
何故なら,交わっている場合はより小さな楕円を考えればよく,
接している場合で接点以外のときは
P が楕円の外にあるので BP + CP が大きくなってしまうからです。
そこで,共通接線を考えれば,円,楕円の接線の性質より,∠APB = ∠APC がいえます。
同様にして,PB = 一定 で ∠BPC = ∠BPA,PC = 一定 で ∠CPA = ∠CPB,がいえ,
結局,∠APB = ∠BPC = ∠CPA のときに PA + PB + PC は最小となります。
△ABC は鋭角三角形だったので,これば △ABC の内部で実現可能で,
このとき,∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°,です。

uch*n*an  
No title

そして,△PAB,△PBC において,∠APB = 120°= ∠BPC,∠ABC = 60°なので,
∠PAB = 180°- ∠APB - ∠PBA = 60°- ∠PBA = ∠ABC - ∠PBA = ∠PBC,
△PAB ∽ △PBC,PA:PB = PB:PC = AB:BC = 10:17
PA = 10x,PB = 17x とおくと PC = 289x/10 で,
PA + PB + PC = 10x + 17x + 289x/10 = 559x/10
一方で,A から BP の延長に垂線を下ろし,三平方の定理を使って,
(10x * √3/2)^2 + (17x + 10x * 1/2)^2 = 10^2,
75x^2 + 484x^2 = 100,559x^2 = 100,x = 10/√559
PA + PB + PC = 559x/10 = 559/10 * 10/√559 = √559
になります。
ちなみに,PA = 100/√559,PB = 170/√559,PC = 289/√559,ですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
春先にお目見えするネコヤナギですが、開いてしまうと雰囲気が違います。
生き生きとした様子を見せてくれました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ちょろ君のしっぽに花粉が付いていたら掃除が大変でしょう(笑)
恥じらいながら芽を出していた春先のネコヤナギと違った感じです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ネコヤナギもこれだけ開くといろんな方向を向くので、
踊っているようですね。面白いです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
頂点までの長さの和の最小を考えるとき、
正三角形を作ることを知っていれば、他の図形でも応用できそうです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
植物が春を待って成長する姿にはいろいろありますが、
生命の営みの不思議を感じます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こにょうな状態になったネコヤナギからその名前がついたのでしょうか?
ネコヤナギなりに春を謳歌していますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
このネコヤナギは浜寺公園で撮りました。
錦織公園と同様、浜寺公園にも水車があります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと追加の解答を有難うございます。
予備知識がなくても簡明に解ける[解答1]を想定していましたが、
ほとんどの方が、定理を利用しておられました。
その予想できていれば、3辺を与えて問題にしたかも知れません。
[解答1]のような方法でも加法定理を使えば、
[解答2]に記した一般的な結果は導けますが、
この結果を得るのは[解答2]の方がいいような気がしました。
なお、ほとんどの方がフェルマー点と書いておられました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ネコヤナギ 銀色の綿毛がきらきら輝いているのも綺麗ですが
こうして弾けんばかりに満開状態のネコヤナギもとても綺麗ですね

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これはフェルマー点を知ってましたぁ^^v
その導き方としての[解法1]はスマートな方法として頭に残ってました☆
シュタイナー点とフェルマー点...
「任意の三角形の外側にかいた正三角形の外接円の交点をフェルマー点 (Fermat Point) と呼ぶ.△ ABC のフェルマー点を F とする.F が△ ABC の内側にあるとき,・・・3 点 A,B,C までの距離の和が最小になる点を ABC のシュタイナー点(Steiner Point)と呼ぶ. フェルマー点がシュタイナー点であることをこの定理は言っている・・・」...http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/fermat.pdf より...Orz

uch*n*anさんの楕円で考える発想は斬新ですね☆
どの2点でも言えるので、120°になることが言えるわけですねぇ♪
おかげでわたしも思い出しました ^^ Orz~...v

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
ひとあし早く春を知らせてくれたネコヤナギですが、
その役目が終わって、自分の春を謳歌しているようです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
3つの角がすべて 120゚ より小さい三角形では、
シュタイナー点とフェルマー点は一致します。
厳密に定義されているのかどうかどうも確信できません。