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[答560] 4数のうちの2数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答560] 4数のうちの2数の和


 異なる4数 a,b,c,d があり、a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d のうちの4つが 9,15,17,18 である

 (a,b,c,d)は何通りかありますが、そのうち、積 abcd の最小の値は?


[解答]

 a+b+c+d の値は、 9,15,17,18 の2数の和だから、

 9+15=24,9+17=26,9+18=27,15+17=32,15+18=33,17+18=35 のいずれかです。

 a+b+c+d=9+15=24 のとき、6種類の和のうちの他の2種類は、24-17=7,24-18=6 です。

 従って、6種類の和を小さい方から並べると (6,7,9,15,17,18) になります。

 他の場合も同様に、(8,9,11,15,17,18),(9,10,12,15,17,18),(9,14,15,17,18,23),

 (9,15,16,17,18,24),(9,15,17,18,20,26) を得ます。

 次に、a<b<c<d として、6種類の和を小さい順に並べると、

 (a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d) または (a+b,a+c,b+c,a+d,b+d,c+d) だから、

 a+b,a+c は最初の2つ、b+c は 3番目か4番目で、2a=(a+b)+(a+c)-(b+c)<0 になるのは、

 (a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d)=(6,7,9,15,17,18) しかないので、

 このとき、a<0<b<c<d であれば abcd は最小になります。

 (a,b,c,d)=(-1,7,8,10) になり、 abcd=-560 です。

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Comments 18

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古い人  
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今日の花はイカリソウですね。

船を止めるイカリの形に本当に良く似ていますね。
自然が作った花の形見事ですね。
此花は日本海側に多く見られますね。
ナイス、

tsuyoshik1942  
No title

ヒントもあり、答は出せたのですが、他人に説明できるような系統的な解法がまったく思い浮かびませんでした。解法説明を待っていた問題のひとつです。納得しました。

Yasuko  
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♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

イカリソウ✿上品なピンクですねぇ~゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
好きなお花です~(*^_^*)✿

ナイス!☆

樹☆  
No title

おはようございます。
イカリソス・・というのですか?カタクリにしては形が変だなと
思ったとこです^^
E感じ。。ナイスです

uch*n*an  
No title

これは,ちょっと変わった問題でした。
ただ,京大の問題で,全く違うのですがニュアンスが似ている問題を解いたことがあります。
今回は,a < 0 に気付けるかどうかですね。
私の解法は[解答]とは違います。ご参考までに書いておきましょうか。
[解答]のように a + b + c + d を考える,というのもいいですね。勉強になりました。

なお,今日,4/1,から社内での部所が変わりました。
仕事の内容が変わるかは微妙なのですが,今までのように時間が自由にできるかどうか。
ちなみに,今週は大丈夫そうですが。
もし,あまり顔を見せなくなったら,忙しいんだろうな,と思ってください (^^;

uch*n*an  
No title

求める積は a,b,c,d の対称式で a,b,c,d は異なるので,a < b < c < d として十分です。
そうすると,a + b < a + c < (a + d, b + c) < b + d < c + d,がいえます。
ここで,(a + d, b + c) はこの二つの大小は判断できないことを意味します。
また,a < b < c < d <= 0 はもちろんありえず,
a < b < c <= 0 < d とすると,a + d,b + d,c + d だけが正になる可能性がありますが,
和の四つが正なので,これもありえません。
さらに,a < b <= 0 < c < d,a < 0 < b < c < d,0 <= a < b < c < d を比べると,
最初と最後は積が正又は 0,2番目は積が負,なので,2番目の方が積が小さいです。
そこで,a < 0 < b < c < d の可能性を
a + b < a + c < (a + d, b + c) < b + d < c + d
に注意して探すと...

uch*n*an  
No title

a + b = 9 の場合
9 < b < c < d,18 < b + c,で,不可。
a + c = 9 の場合
9 < c < d,18 < c + d,なので,a + c = 9,b + d = 18,a + c + b + d = 27,ですが,
一方で中央の二つから,a + d + b + c = 15 + 17 = 32,なので,不可。
a + d = 9 の場合
a + d = 9,b + c = 15,b + d = 17,c + d = 18,(a,b,c,d) = (-1,7,8,10) となり,
abcd = (-1) * 7 * 8 * 10 = - 560
b + c = 9 の場合
b + c = 9,a + d = 15,b + d = 17,c + d = 18,(a,b,c,d) = (2,4,5,13) となり,
a > 0 なので,不可。
以上ですべてなので,abcd の最小値は -560 になります。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
手を広げて飛んでいるようにも見えますね(o^-^o)
かわいいです♪ナイス!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
イカリソウが並んで咲いていましたので撮りました。
この花も春の訪れを感じさせる嬉しい花です。

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
この問題は試行錯誤を何度かすると答は出てくるのですが、
説明となると、なかなか難しいですね。
ときどき、こんな問題を思いつきます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このイカリソウ、錦織公園で見たものです。
山野草がときどき見られるのがいいですね。
欲を言えば、もっといろんな山野草を植えてほしいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
イカリソースのようなタイプミス、思わず笑ってしまいました。
ひょっとしてわざと?
花は可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
この問題は、解き方はいろいろ考えられるでしょう。
ところで、
年度が変わったばかりで、まだ本当の意味の忙しさは分かりませんが、
私も今年度はいままでのように時間がとれないかも知れません。
リコメが遅くなった場合や、出題できない日があれば、ご容赦下さい。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
上手く並んで咲いてくれていました。
仰る通り、飛んでいるようにも見えます。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
わたしも uch*n*anさんと同じような考えで...
最小のケースを考えればいいので...18=c+d, 17=b+d のときで...
a+d or , b+c が...9 or 15 のどちらかの場合として求めました ^^v

やどかりさん自身が楽しめるペースが一番♪
よそのどのサイトよりもハイペースでしたのですから!!
少し愛して長~~~く愛して☆...Orz~v

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
「最小のケースを考えればいいので...18=c+d, 17=b+d のときで...」
は、4つの数の和は最小になりますが、
積は負の数が2個だと最小とはいえません。
実際に負の数が多くても1個であることを示してはじめて断言できる内容です。

私が楽しめるペースはよく分かりません。
でも、週3問のペースが奇跡的に続いています。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
この花がイカリソウなのですね
名前は聞きますが花は見たことがありません

花の形はいかにも船の碇にそっくりですね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
イカリソウです。
不思議な形をしています。
貴女も見られる機会があればいいですね。