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[答562] 鋭角三角形の辺の長さ

ヤドカリ

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[答562] 鋭角三角形の辺の長さ


 BC=7 である 鋭角三角形ABCとその外心をOがあって、

 面積比が △OBC:△OCA:△OAB=49:3:50 であるとき、(AB,AC)=?


[解答1]

 △OBC:△OCA:△OAB=(1/2)・OB・OC・sin2A:(1/2)・OC・OA・sin2B:(1/2)・OA・OB・sin2C で、

 OA=OB=OC だから、sin2A:sin2B:sin2C=49:3:50 です。

 sin2A=2sinAcosA=-2sinAcos(B+C) ,sin2B+sin2C=2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcos(B-C) より、

 sin2A+sin2B+sin2C=2sinA{-cos(B+C)+cos(B-C)}=4sinAsinBsinC 、

 -sin2A+sin2B+sin2C=2sinA{cos(B+C)+cos(B-C)}=4sinAcosBcosC 、

 よって、cotBcotC=(-sin2A+sin2B+sin2C)/(sin2A+sin2B+sin2C) となって、

 cotBcotC=(-49+3+50)/(49+3+50)=2/51 になり、同様に、

 cotCcotA=(49-3+50)/(49+3+50)=16/17 ,cotAcotB=(49+3-50)/(49+3+50)=1/51 です。

 1+cot2A=1+(cotCcotA)(cotAcotB)/(cotBcotC)=1+(16/17)(1/51)/(2/51)=25/17 、

 1+cot2B=1+(cotBcotC)(cotCcotA)/(cotAcotB)=1+(2/51)(16/17)/(1/51)=49/17 、

 1+cot2C=1+(cotAcotB)(cotBcotC)/(cotCcotA)=1+(1/51)(2/51)/(16/17)=1225/1224 、

 sin2A:sin2B:sin2C=17/25:1224/1225:17/49=1/25:72/1225:1/49=49:72:25 、

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=7:6√2:5 になり、BC=7 だから、(AB,AC)=(5,6√2) です。


[解答2]

 一般化して、△OBC:△OCA:△OAB=a:b:c とします。

 AOの延長とBCの交点をPとすれば、AO:OP=(△OCA+△OAB):△OBC=(b+c):a です。

 △BPAにおいてスチュワートの定理より、

 BO2={(b+c)/(a+b+c)}BP2+{a/(a+b+c)}BA2-{a(b+c)/(a+b+c)2}AP2

  ={(b+c)/(a+b+c)}{c/(b+c)}2BC2+{a/(a+b+c)}BA2-{a(b+c)/(a+b+c)2}AP2

  ={c2/(a+b+c)(b+c)}BC2+{a/(a+b+c)}AB2-{a(b+c)/(a+b+c)2}AP2

 △CPAにおいてスチュワートの定理より、同様に、

 CO2={b2/(a+b+c)(b+c)}BC2+{a/(a+b+c)}CA2-{a(b+c)/(a+b+c)2}AP2

 BO2-CO2=0 だから、{(c-b)/(a+b+c)}BC2+{a/(a+b+c)}AB2-{a/(a+b+c)}CA2=0 、

 (c-b)BC2+aAB2-aCA2=0 ……(1) になります。

 同様に、BOの延長とCAの交点をQとして、△CQB,△AQBにおいてスチュワートの定理より、

 (a-c)CA2+bBC2-bAB2=0 ……(2) になります。

 (1)・b+(2)・a より b(c+a-b)BC2-a(b+c-a)CA2=0 、BC2:CA2=a(b+c-a):b(c+a-b) 、

 (1)・b-(2)・(b-c) より -c(a+b-c)CA2+b(c+a-b)AB2=0 、CA2:AB2=b(c+a-b):c(a+b-c) 、

 よって、BC2:CA2:AB2=a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c) です。

 本問の場合、a:b:c=49:3:50 だから、

 BC2:CA2:AB2=49(3+50-49):3(50+49-3):50(49+3-50)=49:72:25 、

 BC:CA:AB=7:6√2:5 になり、BC=7 だから、(AB,AC)=(5,6√2) です。


[解答3] uch*n*anさんのコメントより

 一般化して,△OBC:△OCA:△OAB=a:b:c とします。

 ベクトルを太字で表すことにし,外接円の半径を |OA|=|OB|=|OC|=R,とします。

 すると,OA=xOB+yOC と書け,

 △OBC:△OCA:△OAB=|OB×OC|:|OC×OA|:|OA×OB|

  =|OB×OC|:|x||OB×OC|:|y||OB×OC|=1:|x|:|y|=a:b:c

 |x|=b/a,|y|=c/a

 ここで,△ABCは鋭角三角形なので,図形的に x<0,y<0,OA=-(bOB+cOC)/a,です。

 そこで,

 OAOA=|OA|2=R2, {b2・R2+2bc(OBOC)+c2・R2}/a2=R2OBOC=-R2(b2+c2-a2)/(2bc)

 OCOA=-OC・(bOB+cOC)/a=R2(c2+a2-b2)/(2ca)

 OAOB=-OB・(bOB+cOC)/a=R2(a2+b2-c2)/(2ab)

 BC2=|OBOC|2=R2-2(OBOC)+R2=2R2+2R2(b2+c2-a2)/(2bc)

 CA2=|OCOA|2=R2-2(OCOA)+R2=2R2+2R2(c2+a2-b2)/(2ca)

 AB2=|OAOB|2=R2-2(OAOB)+R2=2R2+2R2(a2+b2-c2)/(2ab)

 よって,

 BC2:CA2:AB2={2+(b2+c2-a2)/(bc)}:{2+(c2+a2-b2)/(ca)}:{2+(a2+b2-c2)/(ab)}

  =a(2bc+b2+c2-a2):b(2ca+c2+a2-b2):c(2ab+a2+b2-c2)

  =a(b+c+a)(b+c-a):b(c+a+b)(c+a-b):c(a+b+c)(a+b-c)

  =a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c) です。

.

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Comments 20

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

OA・OA = |OA|^2 = R^2,(b^2 * R^2 + 2bc(OB・OC) + c^2 * R^2)/a^2 = R^2,
OB・OC = - (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) * R^2
OC・OA = - (b(- (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)) * R^2 + c * R^2)/a = - (c^2 + a^2 - b^2)/(2ca) * R^2
OA・OB = - (b * R^2 + c(- (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)) * R^2)/a = - (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab) * R^2

uch*n*an  
No title

BC^2 = |OB - OC|^2 = R^2 - 2(OB・OC) + R^2 = 2R^2 + 2(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) * R^2
= ((b + c)^2 - a^2)/(bc) * R^2 = (a + b + c)R^2/(abc) * a(b + c - a)
CA^2 = |OC - OA|^2 = R^2 - 2(OC・OA) + R^2 = 2R^2 + 2(c^2 + a^2 - b^2)/(2ca) * R^2
= ((c + a)^2 - b^2)/(ca) * R^2 = (a + b + c)R^2/(abc) * b(c + a - b)
AB^2 = |OA - OB|^2 = R^2 - 2(OA・OB) + R^2 = 2R^2 + 2(a^2 + b^2 - c^2)/(2ab) * R^2
= ((a + b)^2 - c^2)/(ab) * R^2 = (a + b + c)R^2/(abc) * c(a + b - c)

uch*n*an  
No title

よって,
BC^2:CA^2:AB^2 = a(b + c - a):b(c + a - b):c(a + b - c)
です。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
やっぱり...これは難解だったんですねぇ...
さっぱり手つけず...グリコのマーク...^^;...
なんとか理解できそうなのは...[解答2]かなぁ...^^;;...Orz...

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
赤花三椏が色鮮やかですね
カタログで取り寄せたことがあるのですが 育てきれませんでした
又手に入れてみたい花の一つです
ナイス☆彡

樹☆  
No title

こんにちは^^
なんて可愛いのでしょ。。
まるでてまりみたい。。色の違いで雰囲気が
変わりますね。ひとも同じですね^^
ナイスです

こっこちゃん  
No title

こんばんは

今日のミツマタ 素敵な色ですね

ミツマタはその年によって 色が変わるようですね ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
早起きで何か得があればいいですね。
この色のミツマタは鮮やかです。
追いつくということは、新潟も春の空気に包まれているということですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この色のミツマタは朱色と白の色の違いがはっきり出ますね。
黄色のミツマタと違う雰囲気があります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
赤い小さな花は可愛く見えますね。
うれしく思って頂ければミツマタの花も喜んでいることでしょう。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
座標の考え方をすれば何とか解けますね。
ただ、計算が面倒ですので、それを少しでも軽減できる方法を思いつけば
嬉しいものです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
赤いミツマタは錦織公園でも少ないですね。
他の所で見たことがありません。
ところで、今日は暖かないい天気でした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、ベクトルの解法の一般化を有難う御座います。
一般化する方が美しいので、本文を書き変えさせて頂きました。
[解答1][解答2]の方が私には思いつき易いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ちょっと難しかったでしょうか。
解ければ面白いものです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この色のミツマタもカタログ販売されているのですね。
再び手に入れられて、綺麗に咲けばいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
色の違いが雰囲気を変えますね。
人も同じだと思われる所が貴女らしいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
年によって色が変わるとは知りませんでした。
他の場所で見たことがありません。
この花が咲くのを待っていました。今年も咲いてくれました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、鍵コメントを有難う御座います。
早速、移動しました。

ひとりしずか  
No title

色が鮮やかですね~
幼児のように可愛らしい~

ウキウキしてきそう~

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ミツマタの花の色は黄色が多いですが、赤もあります。
赤い色の小さな花は可愛いですね。