FC2ブログ

Welcome to my blog

[答52] 三角方程式

ヤドカリ

ヤドカリ


'



[答52] 三角方程式


 cos 4θ+cos 2θ+1/2=cos 3θ+cosθ, 0゚≦θ≦180゚ を満たす角θは?



[解答1]

 公式 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) を使います。

 2cos 3θcosθ+1/2=cos 3θ+cosθ

 4cos 3θcosθ-2cos 3θ-2cosθ+1=0

 (2cos 3θ-1)(2cosθ-1)=0

 cos 3θ=1/2, cosθ=1/2

 3θ=60゚, 300゚, 420゚ または θ=60゚

 θ=20゚, 60゚, 100゚, 140゚


[解答2]

 cos(θ/2)=0 とすれば、

 cosθ=-1, cos 2θ=1, cos 3θ=-1, cos 4θ=1 で成り立ちません。

 従って、cos(θ/2)≠0 です。

 方程式の両辺に、2cos(θ/2) を掛けて、

 公式 2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β) を使います。

 2cos 4θcos(θ/2)+2cos 2θcos(θ/2)+cos(θ/2)=2cos 3θcos(θ/2)+2cosθcos(θ/2)

 cos(9θ/2)+cos(7θ/2)+cos(5θ/2)+cos(3θ/2)+cos(θ/2)
    =cos(7θ/2)+cos(5θ/2)+cos(3θ/2)+cos(θ/2)

 cos(9θ/2)=0 で 0゚≦9θ/2≦810゚

 9θ/2=90゚, 270゚, 450゚, 630゚, 810゚

 θ=20゚, 60゚, 100゚, 140゚, 180゚ ですが、cos(θ/2)≠0 だから、

 θ=20゚, 60゚, 100゚, 140゚


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 sinθ=0 とすれば、

 cosθ=±1, cos 2θ=1, cos 3θ=±1, cos 4θ=1 で成り立ちません。

 従って、sinθ≠0 です。

 方程式の両辺に、2sinθ を掛けて、

 公式 2cosαsinβ=sin(α+β)-sin(α-β) を使います。

 2cos 4θsinθ+2cos 2θsinθ+sinθ=2cos 3θsinθ+2cosθsinθ

 sin 5θ-sin 3θ+sin 3θ-sinθ+sinθ=sin 4θ-sin 2θ+sin 2θ

 sin 5θ-sin 4θ=0

 2cos(9θ/2)sin(θ/2)=0

 ここで、sin(θ/2)=0 ならば sinθ=0 で適さない。

 よって、cos(9θ/2)=0 以下[解答2]と同じ。


[参考]

 解答2,3は鬼のような方法と思われるかも知れませんが、解答1では次の問題が解けません。

 cos 2θ+1/2=cos 3θ+cosθ を満たす角θは?

.

スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

三角関数を縦横無尽に使えたら...色んなことに応用できそうな...
和積変換できるのがいいですね...いまさらですが...^^;♪
2sinθを両辺に掛けると...sin4θ=sin3θ...cos(7θ/2)=0 から出せるわけですね♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
三角関数は数学の必須アイテムですね。
それが虚数を使った指数関数になることを初めて知ったときは驚きでした。