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[答566] 一定の形で表されない自然数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答566] 一定の形で表されない自然数


 集合 { 8m+125n|m,n は自然数 } に属さない自然数は何個?


[解答1] 単純に

 A(n)={ 8m+125n|m は自然数 } とすれば、

 A(1)={ 8m+125|m は自然数 }={ 8k-3|k は自然数 ,k≧17 } 、

 A(2)={ 8m+250|m は自然数 }={ 8k-6|k は自然数 ,k≧33 } 、

 A(3)={ 8m+375|m は自然数 }={ 8k-1|k は自然数 ,k≧48 } 、

 A(4)={ 8m+500|m は自然数 }={ 8k-4|k は自然数 ,k≧64 } 、

 A(5)={ 8m+625|m は自然数 }={ 8k-7|k は自然数 ,k≧80 } 、

 A(6)={ 8m+750|m は自然数 }={ 8k-2|k は自然数 ,k≧95 } 、

 A(7)={ 8m+875|m は自然数 }={ 8k-5|k は自然数 ,k≧111 } 、

 A(8)={ 8m+1000|m は自然数 }={ 8k|k は自然数 ,k≧126 } 、

 A(n+8)={ 8m+125(n+8)|m は自然数 }⊂A(n) だから、

 A(n) のいずれにも属さない自然数の個数は、 16+32+47+63+79+94+110+125=566 個です。


[解答2]

 扱う文字をすべて自然数とし、N=8m+125n とおきます。

 N を固定すれば N-125k (k=1,2,3,4,5,6,7,8) で表される8個の数について、

 8で割った余りはすべて異なります。

 何故なら、N-125a ,N-125b (a,b=1,2,3,4,5,6,7,8) の8で割った余りが等しいとき、

 (N-125a)-(N-125b)=125(b-a) が8の倍数だから、a=b 、N-125a=N-125b となるからです。

 従って、N-125k (k=1,2,3,4,5,6,7,8) で表される8個の数のなかに8の倍数が1つだけあり、

 それを N-125n とします。

 125n≦1000 だから、N>1000 のとき、N-125n>0 、N-125n=8m を満たす m が存在します。

 つまり、N>1000 のときは、N=8m+125n を満たす m,n が存在します。

 次に、m≧125 または n≧8 のとき N=8m+125n>1000 だから、この場合を除いて、

 m=1,2,3,……,124 かつ n=1,2,3,……,7 の 124・7=868 個の数について考えます。

 以下、m,m'=1,2,3,……,124 、n,n'=1,2,3,……,7 とします。

 この 868 個の数は全て異なる自然数です。

 何故なら、8m+125n=8m'+125n' とすれば、8(m-m')=125(n'-n) だから、

 m-m' は 125の倍数,n'-n は8の倍数となって、m-m'=n'-n=0 、(m,n)=(m',n') だからです。

 次に、8m+125n=1000 のとき、8(125-m)=125n だから、

 n は8の倍数となって、8m+125n=1000 を満たす m は存在しません。

  (集合 { 8m+125n|m,n は自然数 } に属さない最大の自然数は 1000 です)

 更に、m+m'=125 ,n+n'=8 とすれば、

 (8m+125n)+(8m'+125n')=8(m+m')+125(n+n')=2000 だから、

 8m+125n ,8m'+125n' の片方は 1000より大きく、他方は 1000より小さくなります。

 つまり、 N=8m+125n<1000 を満たすのは、868 個の半数の 434個です。

 従って、 8m+125n で表されない自然数は 1000-434=566 個になります。


☆ 一般に a,b が互いに素な自然数であれば、am+bn で表されない自然数について、

 最大のものは ab で、

 個数は ab-(a-1)(b-1)/2=(2ab-ab+a+b-1)/2=(a+1)(b+1)/2-1 になります。 

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Comments 20

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます。
かわいい花ですね。
マクロレンズを使ってるのですか?
小さな花がくっきりきれいに撮れています。
ナイスです

アキチャン  
No title

おはようございます。
素朴な姿に見えてますが、綺麗ですね(o^-^o)
ナイス!

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ハマダオコンの花

ムラサキハナナに 似てますね
花の名前 難しいですよね ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」でした。出てきた数「566」で確信が持てました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
この花は浜辺などでよく見かけますが
「浜大根」と言うのですか?
名前は知らなかったのですが花は良く見かけますね
群生して咲くと綺麗ですね
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
類似の問題は何度か遭遇してるんだけど...
個数まで求めるのは初めてかも...^^;
わたしも...[解答1]もどきでしたが...
[解答2]は...難しいですね...^^;;...Orz...

ちなみに...互いに素な3個の数a,b,cなら...
abc-(a-1)(b-1)(c-1)/2 になるのか知らん...?...
また...
表せない個数が566個になるa,bの組み合わせは...
(a+1)(b+1)=2*567,0<a<b
9種類になるようですね ^^

ヤドカリ  
No title


写真の花は、桜島大根の花でした。
花弁の模様がくっきりしていて紫がかっています。
明日の写真もアブラナ科の花を予定しています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
写真の花は桜島大根でした。
残念ながら、私はハマダイコンの咲くような海岸線を知りません。
見てみたいです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私は浜大根を見た記憶がありませんので、調べて見ると、
同じような色ですが、桜島大根ほど花弁の模様はくっきり見えないようです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
植物園で栽培されていたものを撮りました。
どのように育つのか、また行ったときに注意して見ておきます。
もちろん、本場ではありませんので、大きく育つかどうか分かりません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
マクロレンズを持っているわけではありませんので、
オートフォーカスのデジカメで接写機能を使って撮っています。
大根は巨大ですが、花は小さいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私のブログでの33333番目コメントでした。
皆さんのご協力でここまで来ました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
特にアブラナ科の花は似かよったものが多くて難しいですよね。
でも、名前が分かるとなぜか親しみを感じます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答1]のように丁寧に考えれば解ける問題でしたね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
調べたところ、似た花で、浜辺に咲くのはハマダイコンだと思いますが、
写真の花は桜島大根です。
この花の紫色は記憶に残ります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。

> 互いに素な3個の数 a,b,cなら...
難しいことを仰いますね。
互いに素な2個の数 a,b のときより少ないはずだから、
abc-(a-1)(b-1)(c-1)/2 にはならないでしょうね。

> 表せない個数が566個になるa,bの組み合わせは...
その通りです。

たけちゃん  
No title

互いに素な3個の数a,b,cの場合は難しいですね.
特別な場合については容易に結論が得られますが,
一般の場合については厳しいように思います.

例えば,cがa,bを使って
c=ma+nb(m,nは自然数;ここでは負でない整数でもよい)
の形で表される場合は,
a,bだけでNが表されることとa,b,cでN+cが表されることは同値であり,
a,b,cを使って1~cを表すことはできないので,
a,b,cで表されない数は,a,bで表されない数よりc個だけ多くなります.
特にc>abのとき,個数は(a+1)(b+1)/2-1+c=ab/2+a/2+b/2+c-1/2であり,
a>bcのときのbc/2+a+b/2+c/2-1/2などと同じ1つの式で表すことは
無理なような気がします.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
実は、私には「互いに素な3個の数a,b,c」の意味すら分かりません。
3個の数の最大公約数が1であるのは分かりますが、
その場合でも 6,10,15 のように、どの2つの最大公約数も1出ない場合もあります。
どの2つをとっても最大公約数が1という条件をつけても難しそうで、
具体的な数の場合に求められても、
> 同じ1つの式で表すことは無理なような気がします
という貴殿のコメントに私も同感です。

たけちゃん  
No title

ウィキペディアで調べると,
「3数の互いに素」は「最大公約数が1」の意味であると書いてあり,
正直驚きました.

私はずっと,互いに素は「共通素因数なし」の意味に捉えていて,
いくつの数があろうとも,
「どの2つにも共通素因数がない」という意味だと思っていましたし,
先のコメントも,その解釈によるものです.

「全体の最大公約数が1」の意味であれば,さらに多様な場合があり得て,
一般式はますます望み薄ですね.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
そうでしたか。
「3数が互いに素」というのは使ったこともなく、知りませんでした。
勉強になります。