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[答567] カードの最小数の期待値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答567] カードの最小数の期待値


 0,1,2,3,……,24 と書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、計 75 枚のカードの中から無作為に3枚を

 取り出し、その最小の数を得点とするとき、得点の期待値は?


[解答1]

 一般化して、カードの数を 0,1,2,3,……,n 、合計 3(n+1) 枚とします。

 取り出し方は全部で 3n+33 通りで、最小数が k である場合は 3n-3k+333n-3k3 通りだから、

 最小数が k である確率を P(k) とすれば、k=0,1,2,3,……,n-1 のとき、

 P(k)=(3n-3k+333n-3k3)/3n+33=(63n-3k+33-63n-3k3)/(63n+33)

  ={(3n-3k+3)(3n-3k+2)(3n-3k+1)-(3n-3k)(3n-3k-1)(3n-3k-2)}/{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} 、

 ここで、k=n を代入すれば、P(n)=6/{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}=1/3n+33 だから、

 k=n のときも成り立ちます。

 P(k)={9(3n-3k)2+9(3n-3k)+6}/{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}

  ={3(3n-3k)2+3(3n-3k)+2}/{(n+1)(3n+2)(3n+1)}

  ={27(n-k)2+9(n-k)+2}/{(n+1)(3n+2)(3n+1)}

  ={27k2-9(6n+1)k+(27n2+9n+2)}/{(n+1)(3n+2)(3n+1)}

 期待値は、k・P(k) を k=0 から k=n まで変化させたときの和だから、

 {(27/4)n2(n+1)2-(9/6)(6n+1)n(n+1)(2n+1)+(1/2)(27n2+9n+2)n(n+1)}/{(n+1)(3n+2)(3n+1)}

  =n{27n(n+1)-6(6n+1)(2n+1)+2(27n2+9n+2)}/{4(3n+2)(3n+1)}

  =n(9n2-3n-2)/{4(3n+2)(3n+1)}=n(3n-2)/{4(3n+2)}

 になります。

 本問では n=24 だから、期待値は 24・70/(4・74)=210/37=5.67567567…… です。


[解答2]

 一般化して、カードの数を 0,1,2,3,……,n 、合計 3(n+1) 枚とします。

 取り出し方は全部で 3n+33 通りで、

 k=1,2,3,……,n として、最小数が n+1-k 以上である場合は 3k3 通りだから、

 最小数が n+1-k 以上である確率を p(k) とすれば、

 p(k)=3k3/3n+33=(63k3)/(63n+33)=3k(3k-1)(3k-2)/{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}

  =(9k3-9k2+2k)/{(n+1)(3n+2)(3n+1)} 、

 p(k) を k=1 から k=n まで変化させたときの和は、

 最小数が n+1-k である確率を n+1-k 回加えたものになるので、求める期待値です。

 よって、期待値は、

 {9n2(n+1)2/4-9n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2}/{(n+1)(3n+2)(3n+1)}

  =n{9n(n+1)-6(2n+1)+4}/{4(3n+2)(3n+1)}=n{9n(n+1)-6(2n+1)+4}/{4(3n+2)(3n+1)}

  =n(9n2-3n-2)/{4(3n+2)(3n+1)}=n(3n-2)/{4(3n+2)}

 になります。

 本問では n=24 だから、期待値は 24・70/(4・74)=210/37=5.67567567…… です。


[参考]

 0,1,2,……,n と書かれたカードがそれぞれ k 枚ずつ、計 k(n+1) 枚のカードの中から

 無作為に k 枚を取り出し、その最小の数の期待値を E(k) とすれば、

 E(1)=n/2 ,E(2)=n(4n-1)/{6(2n+1)} ,E(3)=n(3n-2)/{4(3n+2)} ,

 E(4)=n(64n3-24n2-36n+11)/{5(4n+1)(4n+2)(4n+3)} ,

 E(5)=n(1250n4-500n3-1250n2+500n+144)/{12(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)}

 となります。

.

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Comments 20

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、アマドコロです。
白い花が行儀よく並んでいるのがいいなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
上に書きましたように、写真では区別が難しいですが、アマドコロです。
花の色が緑がかった白で、野草らしいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
難しいですが、上に書いたようにアマドコロです。
行儀よく並んでいるのが可愛いと思います。
仰る通り、初夏を思わせるような花です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
もう、アマドコロにお花が咲いていますね(o^-^o)
可愛いです♪ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
名前は難しいです。上に書いたように区別できるようです。
黄緑色の葉も新鮮な感じがしますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このアマドコロは錦織公園で見たものです。
この公園は野草も見られるので嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
貴殿のコメントはユニークですね。
そのようになれば面白いです。
今は検討の時間がありませんので、時間が出来た時に覚えていれば考えてみます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
「同じ数字が2枚ずつの時」は、
同じ数字が2枚ずつで何枚を取り出す時か分かりませんので、
何ともいえないのですが、
少なくとも貴殿の出された式は約分出来ますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
アマドコロの花は小さくて可愛いですね。
葉の下で並んで咲いているのが面白いです。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
アマドコロが咲き始めましたね
もみじの里でも2本だけ花が付きました

一見ナルコユリにも似ていますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
アマドコロの花が咲きだしました。
なかなかピントが合わずに苦労しました。

たけちゃん  
No title

0からA*(n+1)-1のカードが1枚ずつでA枚取り出す場合,
取り出すカードの最小数Xの期待値は An/(A+1)となります.
これは,以下のように考察すれば比較的容易に得られます.

A枚の赤いカードとA*n枚の白いカードを並べ,
(「赤いカードが左から何枚目か」-1) で定まるA個の数のカードを選ぶ
と考えると,Xは最も左にある赤いカードよりも左に並ぶ白いカードの枚数.

赤のカードA枚と任意の白のカード1枚に着目すると,
白のカードがA+1枚中の左から何番目になるかは等確率であり,
白のカードが,最も左の赤いカードよりも左にくる確率は1/(A+1)なので,
An枚の白いカードのうち,
最も左にある赤いカードよりも左に並ぶものの枚数の平均値はAn/(A+1).

たけちゃん  
No title

各カードがA枚あり,A枚を取り出す場合については,
上記のXをAで割ったものの整数部分の期待値を求める問題になります.
これが,スモークマンさんの問題提起「A枚のとき」ですね.
残念ながら,あまりきれいな結果は得られませんでしたが...

X/Aの期待値は n/(A+1)であり,
X/Aの小数部分の期待値は難解ですが,nがAと比べて十分大きいときは
(A-1)/(2A)とみなせます.
(nが大きければ,A+An枚を並べ,A枚ずつに区切ったとき,
同じ区切りに赤が2枚くる確率は小さくなり,同じ区切りに赤がこない限り,
最も左の赤が,区切りの何番目かは等確率です.)

A枚の場合の期待値を n/(A+1)-(A-1)/(2A)+f(n) と表すとき,
lim[n→∞]f(n)=0
となるはずです.

たけちゃん  
No title

私の計算では次のようになりました.
A=1のときは,スモークマンさんのご指摘の通りで
期待値はn/2.
A=2のときは,tsuyoshik1942さんの計算の通り(約分はできますが)で
期待値はn(4n-1)/(6(2n+1))=n/3+1/4+1/(4(2n+1)).
A=3のときは,ヤドカリさんのご教示通りで
期待値はn(3n-2)/(4(3n+2))=n/4+1/3+2/(3(3n+2)).
A=4のときは,
期待値はn(64n^3-24n^2-36n+11)/5(4n+1)(4n+2)(4n+3)
=n/5+3/8+(80n^2+70n+9)/(8(2n+1)(4n+1)(4n+3)).
どうもあまりきれいな式にはなりませんが,
近似式 n/(A+1)-(A-1)/(2A) の裏づけにはなっていると思います.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、詳細な検討を有難う御座います。
> 各カードがA枚あり,A枚を取り出す場合
A=3 のときは問題通りで、
A=1 のときは簡単、
A=2 のときも注意して計算すればできると思ったのですが、
時間もなく、A=4 のときまで確実な計算をする気になりませんでした。
ということで、誰かが検討してくれるのを期待しておりました。
スモークマンさんの予想通りのきれいな結果が得られればよかったですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、貴殿の予想ははずれていましたが、
たけちゃんさんのコメントもあり、私も確認した結果を[参考]として加筆しました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、同じ数字が2枚ずつで2枚を取り出すとき、
貴殿の出された式を約分すれば正解でした。失礼しました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、時間ができたので私も計算してみました。
当然ですが、貴殿の書かれた式と同じ結果を私も得ました。
ついでに、A=5 の場合も計算し、[参考]としてまとめました。

スモークマン  
No title

>tsuyoshik 1942さん& たけちゃんさん & やどかりさんへ ^^
予想する方はいい加減にできますが...
わざわざ考えてくださった皆様には感謝申し上げます~m(_ _)m~v
どうも無体な予想でしたようで...申し訳ございませんでした ^^;;

たけちゃんさんの近似式は収穫かな☆
but...咀嚼できてません...^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座いました。