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[答569] 和の整数部分

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答569] 和の整数部分


 S=1/√1000+1/√1001+1/√1002+1/√1003+……+1/√99999+1/√100000 とするとき、[S]=?

 [S] は S 以下の最大の整数のことです。また、3.162<√10<3.163 です。


[解答1]

 x の関数 1/√x は 0<x を定義域とする単調減少関数だから、

 1/√(n+1)<∫nn+1(1/√x)dx<1/√n

 この式に n=1000,1001,1002,1003,……,99999 を代入して加えると、

 S-1/√1000<∫1000100000 (1/√x)dx<S-1/√100000

 ここで、∫1000100000 (1/√x)dx=2[√x]1000100000=180√10 、

 よって、S-1/(10√10)<180√10<S-1/(100√10) 、180√10+(√10)/1000<S<180√10+(√10)/100 、

 180.001√10<S<180.01√10 、569.163162<180.001√10<S<180.01√10<569.37163 、

 よって、[S]=569 です。


[解答2]

 √(n+1)-√n=1/{√(n+1)+√n} ですので、1/{2√(n+1)}<√(n+1)-√n<1/(2√n) 、

 1/√(n+1)<2√(n+1)-2√n<1/√n になります。

 この式に n=1000,1001,1002,1003,……,99999 を代入して加えると、

 S-1/√1000<2√100000-2√1000<S-1/√100000 、

 S-1/(10√10)<200√10-20√10<S-1/(100√10) 、S-(√10)/100<180√10<S-(√10)/1000 、

 180√10+(√10)/1000<S<180√10+(√10)/100 、180.001√10<S<180.01√10 、

 569.163162<180.001√10<S<180.01√10<569.37163 、[S]=569 です。

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Comments 18

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古い人  
No title

今日の花は何でしょう。

梨の花にも似ていますが判りません。
ナイス、

樹☆  
No title

おはようございます・
まっ白な可憐な花が梨畑いっぱい咲いてた
のを見たことがあります。
光にあたり・・すごくきれいでした。
ナイスです

tsuyoshik1942  
No title

最初、与式≒180*√10=569.20...→[s]=569 と安易に答えてしまいました。
「誤差の範囲の検討が大切ですね」とのリコメを頂き、この問題の本質に気づき再考し、ようやく、569.16<与式<569.38 にたどり着きました。

Yasuko  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはよう

今日は快晴のよいお天気です♪

白い花、なんでしょう!
梨の花?ひめりんご花?似たようなお花があるので(笑)

ナイス!☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
山吹は凛として美しいですね☆

これは、[解答1]に似たようなことで解きましたが...
アバウトでした...^^;
[解答2]は...面白いですね...熟読玩味♪
ちょうど上手い数字をよくぞ毎回見つけられるものね !!^^!!

ニリンソウ  
No title

梨の花だと思います
この辺でも今盛りのはずです、行ってみます

ナイス

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、梨の花です。二十世紀梨です。
よく見ると、なかなか可愛い清楚な花です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このような花が梨畑で沢山咲いていたら見事でしょう。
光を浴びていればなお美しいでしょうね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
この問題、√10 以外の平方根の近似値を使っておられる方もいました。
√10 の値の範囲だけで求められるところがミソでした。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、梨の花、二十世紀梨です。
この花は堺市の都市緑化センターにひっそりと咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
写真の花は梨の花です。
ところで、[解答2]は積分を使わずに求めています。
積分より簡単ですので、ぜひご検討下さい。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
そちらでも梨の花が沢山見られるのでしょうか。
白い清楚な梨の花は素敵ですね。

さっちゃんこ  
No title

こんばなは
今日の花は梨の花なのですね
梨の花は余り近くで見ることが無くよく分かりませんでした

清楚でとても綺麗な花ですね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
私もあまり見る機会のない花です。
実もいいですが、花も清楚でその姿が印象に残ります。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

白くて 優しい花 果物花はよく似た花が

ありますよね 白は 無垢な感じで素敵ですよね ナイス

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントを有難う御座います。
林檎の花も少し丸みを帯びていると思いますが、同じような花です。
同じような花から異なる実が作られるのも不思議といえば不思議です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
果物のお花は本当にきれいですよね(o^-^o)
ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、お疲れの中、コメントを有難う御座います。
果物や野菜は花の評価は二の次ですが、私は花も美しいと思います。
それで、見つけたら撮るようにしています。