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[答570] 最長の折れ線の長さ

ヤドカリ

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[答570] 最長の折れ線の長さ


 図は、1辺の長さが1の正六角形を 1+2+3+4=10 個を並べたもので、同じ頂点を通らないように

 辺上をなぞって最長の折れ線(赤い線)を描くと、その長さが 30 になることを示しています。

 では、正六角形が 1+2+3+……+74=2775 個であれば、最長の折れ線の長さは?

 ただし、折れ線の両端は、正六角形の頂点とします。


[解答]

 下図のように正三角形を重ね合わせます。

 重ねる図形には、▽が 1+2+3+4+5=15 あり、△はそれより多くあります。

 また、すべての辺は、△と▽の重心どうしを結んだものです。

 従って、この折れ線については、▽1個と長さ1の線分2本が対応するので、

 ▽をすべて通り△から△へ至る径路があれば、折れ線の長さは 2・15=30 になります。

 正六角形が何段あっても左上の△から横に進めるだけ進んでから下へ移動することにすれば、

 すべての▽を通ることができるので、正六角形が 1+2+3+……+74=2775 個であれば、

 最長の折れ線の長さは、 2・(1+2+3+……+74+75)=2・(2775+75)=2・2850=5700 になります。

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

どのように「理由づけ」されるのか、解説を楽しみにしていた1題です。
2度、3度読み、ようやく理解できました。

なお、たけちゃんさんの
>「最大の辺数の多角形は何角形か」という改題は
「閉じた一筆書き」のことで、答も考え方も本題と同じでよろしいですね!

ニリンソウ  
No title

白ヤマブキこんなに綺麗でしたか!
ご近所の花散策もしてみたいです

ナイス

アキチャン  
No title

そう言えば、白いのは、見たことがないのです。。
綺麗ですね(o^-^o)
ナイス!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
>たけちゃんさんの最大辺多角形(凹)...
tsuyoshik 1942さんに1票 ^^

ということは...上の図以外のルートも考えられますね...☆

ゆうこ つれづれ日記  
No title

白いお花はヤマブキなんですか?
私の所では白ヤマブキってないような気がします。
白い花は清潔感を感じて好きです。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
シロヤマブキの実は注意して見たことがありませんので、
今年こそは忘れずに見ようと思っています。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
シロヤマブキはヤマブキとは種類が違いますが、似ていますね。
樹ちゃんの好きな白い花には違った雰囲気があります。
山吹を詠んだ万葉歌人は樹ちゃんのご先祖だったのかも?です。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
仰るように厳密な表現に直しました。
ところで、この問題の難易ですが、
貴殿のように厳密な考証をすると簡単ではありませんが、
長さを求めるだけなら、2・(1+2+3+……+74+75) または、
これと等価な式を導くのはそう難しくないと思います。
「最大の辺数の多角形は何角形か」という改題は思いつきませんでした。
その答は、他の方がすでに貴殿のコメントの下に書いてくれていました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
白ヤマブキの花は清楚でいいですね
黒い実が成るのですが種を取るのを忘れてしまい増やせないままです

我が家のは今年は手入れが悪く花は付かなかったようです
真っ白で可愛い花にナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントと再度のコメントを有難う御座います。
「ウサギと亀」は六角形をカメの甲羅からの発想でしょうか?
ルートは何通りあるか知りませんが、▽を全部通るルートなら、
同じ長さになるという考え方が面白いと思います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
普通の山吹に比べて見る機会が少ないですが、
多くの山吹を見てシロヤマブキを見ると一層清涼感があります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
理由付けを期待されていたのですね。
納得いただければうれしいです。
ところで、たけちゃんさんの改題は、その通りですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴女も沢山のシロヤマブキに出会えればいいですね。
ご近所で花散策できるのも素晴らしいことです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
シロヤマブキは珍しいと思います。
それだけに出会った時はうれしいものです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
シロヤマブキはヤマブキと同じ時期に同じような大きさで、
色違いの花に見えますが、別種です。花弁が1枚少ないです。
白だけに清楚に感じます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
毎年咲いてくれる花が見られない年は寂しいものですね。
シロヤマブキは私の好きな白い花の1つです。

たけちゃん  
No title

私の改題は,みなさんがおっしゃる通りで,結論は元問題と同じです.

また,スモークマンさんの洞察のように,多角形が作れると,それを元に,
同じ長さの折れ線が作れます.

これは,次のように示せます.
△の重心の頂点で,通っていない点がある.
このような頂点の1つと,隣接する▽の重心の頂点Aを結び,
Aを含む5700角形の辺の1つを除くと,長さ5700の折れ線が得られる.

考えていただいた方々,ありがとうございました.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、再度のコメントを有難う御座います。
元問題が理由を含めて理解できていれば、改題はさほど難しくありませんが、
改題を最初に見たら、やはり理由づけには知恵が必要ですね。

uch*n*an  
No title

なるほど,正三角形格子を重ねるアイディアは秀逸ですね。
じっくり考える時間がなくあいまいな議論をしてしまいましたが,私の方針は,
同じ頂点を通らないので,辺が3本集まっている頂点では必ず1本は通れないことより,
この1本をできるだけ共有し全体として減らす場合を考える,というものでした。
結局は同じ結論に至るのですが,読み返してみると論理に飛びがあるようです。
いずれにせよ,なかなか面白い問題だったと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントにお褒めの言葉を有難う御座います。
> 正三角形格子を重ねるアイディアは秀逸ですね。
実はその逆で、先に正三角形格子を考えていて、
重心をつなぐことを思いつき、作問しました。
たけちゃんさんは、正六角形の頂点を、
時計の 12,4,8時の方向にあるものと 2,6,10時の方向にあるものの
2種類に区別されていました。
結局おなじことですが、問題図からはその方が思いつき易いと思います。