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[答571] 平行四辺形の面積

ヤドカリ

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[答571] 平行四辺形の面積


 図のように、平行四辺形ABCDの辺AB,BC,CD,DA上に点E,F,G,Hをとって、

 線分AG,BH,CE,DFで9個の部分に分けます。

 中央にできる四角形PQRS以外の8個の部分の面積が等しいとき、四角形PQRSは平行四辺形ですが、

 この平行四辺形PQRSの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何倍?


[解答1]

 △ABP∽△EBQ で、面積比が 2:1 だから、相似比は √2:1 になり、

 AB:EB=√2:1 、AE/AB=(√2-1)/√2 、平行四辺形AECG/平行四辺形ABCD=(√2-1)/√2 です。

 また、AP:EQ=√2:1 、AP=RC だから、RC:EQ=√2:1 が成り立ちます。

 △QBC∽△RFC で、面積比が 2:1 だから、相似比は √2:1 になり、

 QC:RC=√2:1=2:√2 だから、QR:EC=(QC-RC):(EQ+QC)=(2-√2):(1+2) 、

 QR/EC=(2-√2)/3 、平行四辺形PQRS/平行四辺形AECG=(2-√2)/3 です。

 よって、

 平行四辺形PQRS/平行四辺形ABCD={(√2-1)/√2}{(2-√2)/3}=(√2-1)2/3=(3-2√2)/3 です。


[解答2]

 △ABP∽△EBQ で、面積比が 2:1 だから、相似比は √2:1 になり、

 AB:EB=√2:1 、AE/AB=(√2-1)/√2 、平行四辺形AECG/平行四辺形ABCD=(√2-1)/√2 です。

 △QBC∽△RFC で、面積比が 2:1 だから、相似比は √2:1 になり、QC:RC=√2:1=2:√2 、

 また、EQ:QC=△BQE:△BQC=1:2 、よって、QR/EC=(2-√2)/3 、

 平行四辺形PQRS/平行四辺形AECG=(2-√2)/3 です。

 従って、平行四辺形PQRS/平行四辺形ABCD={(√2-1)/√2}{(2-√2)/3}=(3-2√2)/3 です。


[解答3]

 △ABP∽△EBQ で、面積比が 2:1 だから、相似比は √2:1 になり、AB:EB=√2:1 、

 △EBC/平行四辺形ABCD=1/(2√2) です。

 また、平行四辺形ABCD-平行四辺形PQRS=(8/3)△EBC だから、

 1-平行四辺形PQRS/平行四辺形ABCD=(8/3)△EBC/平行四辺形ABCD=(8/3)・1/(2√2)=(2√2)/3 、

 平行四辺形PQRS/平行四辺形ABCD=1-(2√2)/3 です。

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Comments 16

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古い人  
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今日の花は何ですか。

タマクルマバソウに良く似ていますが。
自信が有りません。
ナイス、

樹☆  
No title

おはようございます。
小さくて可愛い花ですね。
見たことあるような・・春はたくさんの花を楽しむ
ことができ嬉しいです
ナイスです。

tsuyoshik1942  
No title

辺上の点の位置が「√2:1」であること、そして、その値を活用するまでは同じでした。
その後の追い込み方は、解答のいずれとも違っているようですが、自分も、左程手間を掛けずに答にたどり着きました。
そして、答を計算し、0.05719..を得、ほっとしました。

アキチャン  
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おはようございます。
可愛いお花ですね♪ (o^-^o)ナイス!

こっこちゃん  
No title

1おはようございます

白くて可愛い花ですね

果物の花も白くて可愛いのが近頃見ますが 名前わかりません
可愛い花に ナイス

ニリンソウ  
No title

木でなく草の花のようですが
解りませんね。
蔓性ですか〇〇カズラの種類かな

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
正方形の影に映して...^^;
解答1 の方向で...Orz~

問題573...いまだ閃かず...
というか...よくわかんない...^^;;...

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
起用の花は皆目見当が付きません
瑠璃祭りにも似ているようですがこの花には
花弁が4枚しかないですね

清楚な感じの素敵な花ですね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
写真の花はライラックです。
白いライラックの花がボタン園の近くに咲いていました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白いライラックを私は何ヶ所かで見ましたが、
緑の中の白い花が眩く感じました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
私は答を計算し、0.05719……を得、意外に小さいと思いました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
小さな白い花は可愛く感じます。
その可愛い花が団体で咲いていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花はライラックの花です。
他にも白い小さな花があり、区別が難しいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
ライラックは、モクセイ科の落葉低木または小高木ですが、
この写真では蔓のようにも見えますね。
和名はムラサキハシドイ、聞き慣れない名前です。
ライラックはイギリス名で、フランスではリラとよぶそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
1次変換すれば面積比を変えずに正方形に出来るので、
その方法も当然正解です。
[573]は丁寧に解けばできる問題ですので、時間が有れば……

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
私はライラックといえば、白をよく見ますが、薄紫色が多いのでしょうか?
明日は薄紫色の写真を使いたいと思っています。