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[答572] 内部の点からの距離の和

ヤドカリ

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[答572] 内部の点からの距離の和


 AB=5,BC=8,CD=14,DA=16,AC=12 である凸四角形ABCDの内部に点Pをとるとき、

 PA+PB+PC+PD の最小値は?


[解答]

 PA+PC≧AC で、等号が成り立つのは PがAC上にあるとき、

 PB+PD≧BD で、等号が成り立つのは PがBD上にあるときだから、

 PA+PB+PC+PD≧AC+BD で、等号が成り立つのは Pが AC,BD の交点のときです。

 従って、PA+PB+PC+PD の最小値は AC+BD です。

 次に、BからACにおろした垂線の足をG,DからACにおろした垂線の足をH として、

 BG,DH を辺に含み、BDを対角線とする長方形を作ります。

 BG2=AB2-AG2=BC2-CG2 だから、CG2-AG2=BC2-AB2 、(CG+AG)(CG-AG)=BC2-AB2

 AC(CG-AG)=BC2-AB2 、また、AC(CG+AG)=AC2 だから、辺々加えて、2AC・CG=BC2-AB2+AC2

 CG=(BC2-AB2+AC2)/(2AC)=(82-52+122)/(2・12)=61/8 、

 同様に、 AH=(DA2-CD2+AC2)/(2AC)=(162-142+122)/(2・12)=17/2 になり、

 BG=√(BC2-CG2)=√{82-(61/8)2}=√{(125/8)(3/8)}=(5√15)/8 、

 DH=√(DA2-AH2)=√{162-(17/2)2}=√{(49/2)(15/2)}=(7√15)/2 です。

 よって、長方形の2辺は、

 AH+CG-AC=17/2+61/8-12=33/8 と BG+DH=(5√15)/8+(7√15)/2=(33√15)/8 で、 

 BD=(33/8)√{12+(√15)2}=33/2 になります。

 PA+PB+PC+PD の最小値 AC+BD=12+33/2=57/2 になります。


☆ cos∠B=(52+82-122)/(2・5・8)=-11/16 ,cos∠D=(142+162-122)/(2・14・16)=11/16

 に気付けば、∠B+∠D=180゚ で、四角形ABCDは円に内接し、トレミーの定理より、

 AC・BD=AB・CD+BC・DA 、12・BD=5・14+8・16=198 、BD=33/2 は簡単に出ます。

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Comments 20

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たけちゃん  
No title

私は,BDの長さを求めるのに,CAをx軸上にとる座標を導入しました.
これは,本質的には[解答]と同じです.

なんとなく,四角形が円に内接しそうな気もしたのですが,
(そして,答が出た後で,トレミーの定理で確かめましたが,)
本問の場合,円に内接するかどうかを調べても,
「内接しない」となったとき無駄になるので,
まずそれを調べようという動機付けが弱いような気がしました.

なお,解答の下から2行目は,「BG=」ではなく「BD=」ですね.

たけちゃん  
No title

スモークマンさんの,ヘロンの公式を使う方法は,
(AB,AD)=(5,16),(CB,CD)=(8,14) の条件の下で,
△ABD+△ACDの面積がある値になるようなBDの長さを求めようという方法ですね.

BDは|AB-AD|≦BD≦AB+AD, |CB-CD|≦BD≦CB+CD の範囲にあり,
この範囲でBDが増えるとき,面積の和ははじめは増加,後で減少するので,
BDの値は2つ出てくることがありますが,
ACが条件通りの値となるのはそのうち一方のみです.

そのどちらが適する値なのかを調べるのは少しめんどうなので,
凹四角形の場合も,[解答]と同様に進める方がよさそうです.
長方形の2辺が AH+CG-AC=33/8 と DH-BG=(23√15)/8 となり,
BD=(1/8)√(33^2+23^2*15)=√141 を得ます.

たけちゃん  
No title

なお,ヘロンの公式利用の方法は,凸四角形の場合にも適用は可能であり,
4辺の長さが指定された四角形の面積は,円に内接するときに最大であることから,
本問では,この方法で,解が1つに定まるはずです.
実際,最終的にx^2の2次方程式が得られ,それが重解をもつことを確かめましたが,
手計算ではちょっと大変ですので,お勧めはしにくいですね.

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
凸四角形の場合のヘロンの公式で計算させてみました...

BD=x
△ABC=15√15, △ACD=84√15

99√15=√((21+x)*(11+x)*(-11+x)*(21-x)) + √((22+x)*(6+x)*(-6+x)*(22-x)), 0<x

x=33/2...but...たしかに手では無理!!方程式...^^;;

ところで...
凹四角形のとき最短点PがBであることがよくわからなくなりました...^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
食虫植物のサラセニアです。私も初めて見ました。
不思議な雰囲気がありました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
真ん中には何が入っているのでしょうか?
分からないのですが、グリコのおまけでないことは確かです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ひとくちに食虫植物といっても種類は様々、
私は植物の不思議を見せてもらったようです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
仰る通り、この前「シュタイナー点」をとりあげたのですが、
4点の方が、先入観に反して簡単でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、度々のコメントを有難う御座います。
BDを求めるのにヘロンの公式を使うことは私は考えませんでした。
√の中に文字が入るもの2つの和は無意識に避けてしまうからです。
計算し易い式を導く方がこの方程式を解くより楽だと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
写真の花をあてられたら凄いと思います。面白い花ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントを有難う御座います。
珍しい花に出会いましたので、写真を撮りました。
面白い花が咲くものです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントと、ミスの指摘を有難う御座います。
私は確認が簡単なように円に内接するように設定しましたが、
「内接しないとなったとき無駄になるので」
より、解答者の立場であれば、
「内接するとなったときラッキーなので」
と考えて cosB,cosD を求めて見ます。
このあたりは、好みの問題ですね。

たけちゃん  
No title

以下,図形の内部とは周上を含むものとします.
△XYZの内部の点Qについて,XQ+QZ≦XY+YZ…(*)が成り立ちます.
(証明)
X=Qのときは明らか.
X≠Qのとき,2直線XQ,YZの交点をRとして
XQ+QR≦XY+YR,QZ≦QR+RZ.
辺々加えて,両辺からQRを引いて(*)を得る.

これを元に,凹四角形ABCDの場合を考えることができます.
Pを四角形の内部にとると,Bは△PCD,△PDA,△PACのいずれかの内部.
Bが△PCDの内部のとき,(*)より,BC+BD≦PC+PD.
よって,
BA+BB+BC+BD≦AB+PC+PD≦PA+PB+PC+PD.
他の場合も同様にして,PA+PB+PC+PDはBA+BB+BC+BD以下とわかります.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、スモークマンさんへの説明を有難う御座います。

スモークマン  
No title

>たけちゃんさんへ ^^
ご解説いただきありがとうございました ^^
よくわかりました♪
分割される△の一番多い共通点ってことと理解しました...Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
本当に珍しい花ですねー
食虫植物なんですね
初めて見ますが結構大きな花なのでしょうか

食虫植物の独特の雰囲気は余り感じられませんね
逆にレモンイエローで優しくも見えます
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座いました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
食虫植物といっても、サラセニアは変形した葉で虫を捉えるもので、
花には関係ありません。
色合いは優しく、大きさはキンセンカくらいだったと思います。

ひとりしずか  
No title

変わった形ですね・・
見るのも知るのも初めて

食虫植物というのは、虫も栄養源なんでしょうか~

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントを有難う御座います。
私も見るのは初めてでした。
食虫植物は虫を栄養にするので、痩せた土地にも生育します。