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[答581] 正方形の個数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答581] 正方形の個数


 図のように、幅が 1 の方眼でできた1辺の長さが 6 の正方形があって、

 方眼の縦横の交点と中央に 72+62=85 個の点をとります。

 この 85 個の点のうち4個の点を頂点とする正方形の個数は?


[解答]

 一般化して、もとの正方形の1辺の長さを n とします。

 右上図のように、1辺が 1/2 の方眼にします。

 左下図6個は1辺が 3 の正方形を切り取ったもので、4隅に問題の点を含んでいても、含んでいなくても、

 1辺が 3 の正方形1個に対して、辺や頂点上に4頂点をとってできる正方形は 3 個です。

 右下図は1辺が 7/2 の正方形を切り取ったもので、辺や頂点上に4頂点をとって正方形はできません。

 一般に、辺が方眼の線に平行で、1辺の長さが k の正方形を切り取れば、

 辺や頂点上に4頂点をとってできる正方形は

 k が自然数であれば k 個で、k が自然数でなければありません。

 辺が方眼の線に平行で、1辺の長さが k の正方形は全部で (2n+1-2k)2 個あって、

 その正方形1個につき、辺や頂点上に4頂点をとってできる正方形は k 個だから、

 k(2n+1-2k)2=(2n+1)2k-4(2n+1)k2+4k3

 k=1,2,3,……,n として加えると、

 n(n+1)(2n+1)2/2-4n(n+1)(2n+1)2/6+4n2(n+1)2/4

  =-n(n+1)(2n+1)2/6+n2(n+1)2

  =n(n+1){-(2n+1)2/6+6n(n+1)}/6

  =n(n+1)(2n2+2n-1)/6 個になります。

 本題では、 n=6 の場合で、 6(6+1)(2・62+2・6-1)/6=581 個です。

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

「解答」を何回か読ませていただき、ようやく理解できました。自分は、
図を描き、色分けをして数え始めましたが、途中であきらめプログラムに組みました。
答にn=6:「581」そして実際に数えたn=1:「1」、n=2:「11」が出てきたので、プログラムの筋道は正しいと判じました。その後、1,11,46,130,295,581,1036...から、一般式まで推定しましたが、その中身が分かりませんでした。
[解答」を拝見し、分かったような気がしてきました。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
スマートな解法ですねぇ☆
わたしゃ...小学生のようにカウントうんとしましたぁ ^^;...
これが長方形だったら...めまいを起こしてたと思います...^^;;...Orz~

樹☆  
No title

おはようございます^^
たわわにありますね~~
チョロも好きなコバンです♬
ナイス

Yasuko  
No title

(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッ

朝からうっとおしいお天気です!

コバンソウ✿家の近くにも咲き始めましたよ(๑´・‿・)(・‿・`●)
撮ってきましたが~(^O^)/

ナイス!☆

こっこちゃん  
No title

こんにちは

うわ~~ 小判が ザックザックですね

見るだけで 裕福になったようです (笑) ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

これはコバンソウですか?
小判のチャリチャリ~~ンと言う音が聞こえてきそうです。
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
小判草が見事に一杯ですね
チャリチャリと小判が擦れ合う音まで響いてきそうですね

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

小判草これだけは新潟も今同じように靡いています
どっさり~大判小判が。

ナイス

たけちゃん  
No title

これは面白い問題でしたが,私は[解答]の方法は思いつけず,
対角線の交点の位置を決定するときの正方形の個数を元に考えました.
対角線の交点が,図形全体の外周からどれだけ離れているかにより,
正方形の個数が,三角数1,3,6,10,…と増えていきます.

解答は鮮やかですね.

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
タワラクサとも呼ぶのですか。知りませんでした。
小判にしても俵にしても大切ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
其方ではまだのようですね。
コバンソウを見ると豊かな気持ちになります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
具体例からよく一般式を求められたと思います。
また、丁寧に解答を読んで下さったようで嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
「チョロに小判」ですか。
「チョロに真珠」にならないよう、健康管理してあげて下さいね。(笑)

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このコバンソウは「里の家」の横の池の奥、茶畑の奥で見ました。
実にたくさんありました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
実に多くのコバンソウを見ました。
言霊でしょうか。気持ちが裕福になりますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
これがコバンソウです。
今は緑ですが、枯れてくると小判の色に近づいてきます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
新潟もコバンソウは同じ時期なのですね。
「越後屋」さんかどうか知りませんが、小判はたくさんあるのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
中心を決めるか正方形の枠を作るかの違いだと感じました。
もちろん、中心を決める貴殿の方法では、
同心正方形?をすべて考える必要がありますが……。

樹☆  
No title

ありがとうございます。
健康管理・・猫って泌尿器の病気多いのです。
メタボ対策ばっちり!!
だから餌も長寿用。。笑

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
長寿用の餌もあるなんて知りませんでした。