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[答582] 球の中心と円錐の頂点の距離

ヤドカリ

ヤドカリ



[答582] 球の中心と円錐の頂点の距離


 半径が1の球に円錐の側面の形の帽子をかぶせます。

 帽子と球の隙間の部分の体積が球の体積と等しくなるとき、球の中心O と円錐の頂点A の距離 OA=?


[解答]

 この回転体を回転軸を含む平面で切断したときの球(円)を x2+y2=1 ,

 a>1 として A(0,a) とすれば、Aを極とする極線は 0x+ay=1 ,y=1/a です。

 次に、x2+y2=1 と y=1/a の交点を(b,1/a)とすれば、b2=1-1/a2 で、

 (1/3)πb2(a-1/a)-π∫1/a1 (1-y2)dy=(4/3)π 、

 b2(a-1/a)-3∫1/a1 (1-y2)dy=4 、

 (1-1/a2)(a-1/a)-3∫1/a1 (1-y2)dy=4 、

 ここで、3∫1/a1 (1-y2)dy=3[y]1/a1-[y3]1/a1=3(1-1/a)-(1-1/a3) 、

 従って、(1-1/a2)(a-1/a)-3(1-1/a)+(1-1/a3)=4 、

 a-2/a+1/a3-3+3/a+1-1/a3-4=0 、a-6+1/a=0 、a2-6a+1=0 、

 a>1 より、a=3+2√2 になります。

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Comments 17

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古い人  
No title

今日の花は何でしょう。

判りませんね。ナイス

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

近くに咲いているエゴノキに似ているのですが
間違っていると思います^^;

ナイス!☆

tsuyoshik1942  
No title

球と円錐の接点をPとした時の、<OAP=<POX=Kと置き、
おわん型の体積は参考書をなぞりながら積分しました。
自信はなかったのですが、「582」が出てきたので良しとしました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも...「球冠」と呼ばれる(下側なら「球根」だったりする ?...)
部分の体積は、調べて計算 ^^;v
tsuyoshik 1942さんのPを使わせていただくと ^^...<POA=θ として考えましたぁ Orz~
それにしても...積分の威力はすごいものですね♪

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
エゴの花のようですが見事なアップ 別の花のようです
真っ白の花
控えめに下向きに咲くので大きな木だと孵って目立つ花ですね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真はハクウンボク(白雲木)の花です。
白雲木はエゴノキ科の落葉高木で、
5~6月、枝先に 8~17cm の総状花序をつくり、
長さ 約2cm の花を多数下向きに開きます。
樹上の白色花の満開の様子を白雲に見立てた名前です。
北海道~九州・朝鮮半島・中国の山地に生えますが、
庭木としても植えられているようです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
↑に書きましたように、ハクウンボクの花です。
この季節、白い花を咲かせる樹木が多いですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これも花の文化園で見ました。
エゴノキ科の樹木ですので、当たらずとも遠からずですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
積分を知っていれば簡単ですが、その復習になったようで嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
積分は強力な tool ですので、工夫はあまりありませんが、
それだけに使えればいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
白雲木というエゴノキ科の樹木ですので、当たらずとも遠からずです。
俯き加減に綺麗に咲いていました。

アキチャン  
No title

説明、ありがとうございます。
綺麗なお花ですね(o^-^o)
ナイス!

ニリンソウ  
No title

ハクウンボクとは・・エゴノキとばかり思っていました
真っ白ですね
どこぞで本物みたいなぁ~

ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私は意識していなかったのですが、見上げると綺麗な白い花が咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
私が本物を見たいと思う花がニリンソウさんのブログにいっぱい。
特に、白いカタクリが印象に残っています。

樹☆  
No title

おはようございます^^
わたしもエゴノキとばかり思ってました。
真っ白いお花がすてき。。ナイスです

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
みなさんエゴノキをよくご存知ですね。
美しい白い花でした。