[答583] 台形の面積
[答583] 台形の面積
AB=5,BC=2,CD=11,DA=10,∠C=90゚ の四角形ABCDがあり、BE//CD となるように点Eを辺AD上
にとります。 このとき、台形BCDEの面積は?
[解答1]
AB2+AD2=BC2+CD2=125 になるので、∠A=90゚ です。
よって、tan∠DBA=10/5=2 、tan∠DBE=tan∠BDC=2/11 、
tan∠EBA=tan(∠DBA-∠DBE)=(2-2/11)/(1+2・2/11)=4/3 、
EA=BAtan∠EBA=5・4/3=20/3 となって、
台形BCDE=△ABD+△BCD-△ABE=25+11-5(20/3)/2=58/3 になります。
[解答2]
AB2+AD2=BC2+CD2=125 になるので、∠A=90゚ です。
BF//AD となるように点Fを辺CD上にとれば、四角形BFDEは平行四辺形で、△ABE∽△CBF になり、
相似比は AB:CB=5:2 、△ABE:△CBF=25:4 、△ABE=25k,△CBF=4k とおきます。
△BDE=△ABD-△ABE=25-25k 、△BFD=△BCD-△CBF=11-4k だから、
25-25k=11-4k 、k=2/3 、
台形BCDE=△ABD+△BCD-△ABE=25+11-25k=36-25・2/3=58/3 になります。
[解答3] 計算だけで
xy平面上で、A(a,b),B(0,0),C(0,-2),D(11,-2) (a>0,b>0) とすれば、
AB2=52 より、a2+b2=25 、
DA2=102 より、(a-11)2+(b+2)2=100 、
a2-22a+121+b2+4b+4=100 、25-22a+121+4b+4=100 、
2b=11a-25 、4a2+4b2=100 に代入して、
4a2+(11a-25)2=100 、a=7/5,3 です。
2b=11a-25>0 を考慮して、(a,b)=(3,4) になります。
直線ADの傾きは -3/4 だから、AD:y-4=-(3/4)(x-3) 、y=0 とおけば x=25/3 、
E(25/3,0) となって、BE=25/3 です。
よって、台形BCDE=(25/3+11)・2/2=58/3 になります。
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