[答583] 台形の面積

[答583] 台形の面積


　AB＝5，BC＝2，CD＝11，DA＝10，∠C＝90ﾟ の四角形ABCDがあり、BE//CD となるように点Eを辺AD上

　にとります。 このとき、台形BCDEの面積は？


[解答1]

　AB²＋AD²＝BC²＋CD²＝125 になるので、∠A＝90ﾟ です。

　よって、tan∠DBA＝10/5＝2 、tan∠DBE＝tan∠BDC＝2/11 、

　tan∠EBA＝tan(∠DBA－∠DBE)＝(2－2/11)/(1＋2･2/11)＝4/3 、

　EA＝BAtan∠EBA＝5･4/3＝20/3 となって、

　台形BCDE＝△ABD＋△BCD－△ABE＝25＋11－5(20/3)/2＝58/3 になります。


[解答2]

　AB²＋AD²＝BC²＋CD²＝125 になるので、∠A＝90ﾟ です。

　BF//AD となるように点Fを辺CD上にとれば、四角形BFDEは平行四辺形で、△ABE∽△CBF になり、

　相似比は AB：CB＝5：2 、△ABE：△CBF＝25：4 、△ABE＝25k，△CBF＝4k とおきます。

　△BDE＝△ABD－△ABE＝25－25k 、△BFD＝△BCD－△CBF＝11－4k だから、

　25－25k＝11－4k 、k＝2/3 、

　台形BCDE＝△ABD＋△BCD－△ABE＝25＋11－25k＝36－25･2/3＝58/3 になります。


[解答3] 計算だけで

　xy平面上で、A(a，b)，B(0，0)，C(0，－2)，D(11，－2) (a＞0，b＞0) とすれば、

　AB²＝5² より、a²＋b²＝25 、

　DA²＝10² より、(a－11)²＋(b＋2)²＝100 、

　a²－22a＋121＋b²＋4b＋4＝100 、25－22a＋121＋4b＋4＝100 、

　2b＝11a－25 、4a²＋4b²＝100 に代入して、

　4a²＋(11a－25)²＝100 、a＝7/5，3 です。

　2b＝11a－25＞0 を考慮して、(a，b)＝(3，4) になります。

　直線ADの傾きは －3/4 だから、AD：y－4＝－(3/4)(x－3) 、y＝0 とおけば x＝25/3 、

　E(25/3，0) となって、BE＝25/3 です。

　よって、台形BCDE＝(25/3＋11)･2/2＝58/3 になります。

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