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[答583] 台形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答583] 台形の面積


 AB=5,BC=2,CD=11,DA=10,∠C=90゚ の四角形ABCDがあり、BE//CD となるように点Eを辺AD上

 にとります。 このとき、台形BCDEの面積は?


[解答1]

 AB2+AD2=BC2+CD2=125 になるので、∠A=90゚ です。

 よって、tan∠DBA=10/5=2 、tan∠DBE=tan∠BDC=2/11 、

 tan∠EBA=tan(∠DBA-∠DBE)=(2-2/11)/(1+2・2/11)=4/3 、

 EA=BAtan∠EBA=5・4/3=20/3 となって、

 台形BCDE=△ABD+△BCD-△ABE=25+11-5(20/3)/2=58/3 になります。


[解答2]

 AB2+AD2=BC2+CD2=125 になるので、∠A=90゚ です。

 BF//AD となるように点Fを辺CD上にとれば、四角形BFDEは平行四辺形で、△ABE∽△CBF になり、

 相似比は AB:CB=5:2 、△ABE:△CBF=25:4 、△ABE=25k,△CBF=4k とおきます。

 △BDE=△ABD-△ABE=25-25k 、△BFD=△BCD-△CBF=11-4k だから、

 25-25k=11-4k 、k=2/3 、

 台形BCDE=△ABD+△BCD-△ABE=25+11-25k=36-25・2/3=58/3 になります。


[解答3] 計算だけで

 xy平面上で、A(a,b),B(0,0),C(0,-2),D(11,-2) (a>0,b>0) とすれば、

 AB2=52 より、a2+b2=25 、

 DA2=102 より、(a-11)2+(b+2)2=100 、

 a2-22a+121+b2+4b+4=100 、25-22a+121+4b+4=100 、

 2b=11a-25 、4a2+4b2=100 に代入して、

 4a2+(11a-25)2=100 、a=7/5,3 です。

 2b=11a-25>0 を考慮して、(a,b)=(3,4) になります。

 直線ADの傾きは -3/4 だから、AD:y-4=-(3/4)(x-3) 、y=0 とおけば x=25/3 、

 E(25/3,0) となって、BE=25/3 です。

 よって、台形BCDE=(25/3+11)・2/2=58/3 になります。

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Comments 19

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古い人  
No title

うわーーもう笹ユリが咲いてますね。

此れからの季節山の中でひっそりと咲く笹ユリ綺麗ですね。
香りも最高です、ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます。
ほんの少しピンク色すてきですね。
木漏れ日が似合うお花だと思ってたら
ちゃんと光の中で可憐なすがたを撮ってらして
お上手ですね。。ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答2]でした ^^
but...さいしょ、円で考えてたら、相似比の場所を間違えたり...
自分の中の盲点を発掘させられます ^^;v

[解答1]は鮮やかね☆
tan がこんな風に使いこなせるようになりたいな♪...Orz~

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ササユリですね

これから 色んな百合が咲きだし 楽しみですね ナイス

tsuyoshik1942  
No title

>AB2+AD2=BC2+CD2=125 になるので、∠A=90゚
に気づいておりませんでした。

自分は、AとEからCDへ2本の垂線を降ろし、3つの(3:4:5)の直角三角形を見つけました。

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

ヒメサユリかササユリでしょうか
花色がとっても美しいです~(^O^)/

ナイス!☆

ニリンソウ  
No title

ヒメサユリでしょうか、ササユリとどこが違うのかな
いい花に会った後は気分もいいですね

ナイス

たけちゃん  
No title

四角形ABCDが円に内接することを得て,
2直線AB,DCの交点をPとし,PAD,PCBの相似比を考えて解きましたが,
後で一般化を考えると,tan∠ADC,BEの順に求めるのがよい気がしてきました.

tan∠BDC=2/11,tan∠ADB=1/2 から,tan∠ADC=(2/11+1/2)/(1-2/11・1/2)=3/4.
BE=CD-BC/tan∠ADC=11-8/3=25/3であり,面積は,(1/2)(25/3+11)*2=58/3.

三角形ABDが直角三角形でない場合でも,
余弦定理などを経由して,tan∠ADBさえ求めれば,
同様の方法で面積を求めることができます.

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
笹ユリなんですね
此方では余り見かけないと思うので名前が判りませんでした
野生で咲くユリとは思えませんね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花は、ヒメサユリ(オトメユリ)です。
新潟県や東北地方の一部に自生するそうです。
ササユリと似ていますが、おしべが黄色です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
↑に書きましたように、ヒメサユリです。
本当にササユリと似ていますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
可憐な百合の花ですね。
これからユリの季節ですが、ひっそり咲く姿もいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
三角関数の公式は補助線を引くのと同じ効果があります。
便利ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
ササユリに酷似していますが、ヒメサユリというユリです。
仰るように、いろんなユリが見られる季節が間近です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
もちろん、∠A=90゚ に気づかなくても解けます。
ただ、直角に気づけば後の処理が早いですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、ヒメサユリです。花の文化園で見ました。
おしべの黄色が特徴です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
私はこの花を花の文化園で見ました。
ニリンソウさんはもうじき自生のヒメサユリを見られるのですね。
羨ましいです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
> 三角形ABDが直角三角形でない場合でも,
> 余弦定理などを経由して,tan∠ADBさえ求めれば,
は、なるほどその通りですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ササユリに酷似していますが、ヒメサユリという花です。
此方でも自生のヒメサユリはありません。
野生で咲いているのを見たいものです。