[答584] 18で割って１余る確率

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[答584] 18で割って１余る確率


　，，，，，，，， のカードが１枚ずつあり、

　このうちの３枚を無作為に並べてできる３桁の数を 18で割ったとき１余る確率は？


[解答1]

　並べ方は全部で ₉Ｐ₃＝9･8･7＝504 通りあります。

　18で割って１余る自然数は、９で割って１余る奇数ですので、

　各位の数の和が 10 または 19 で、一の位が奇数のものが該当します。

　各位の数の和が 10 または 19 になる３枚のカードの選び方は、

　{1，2，7}，{1，3，6}，{1，4，5}，{2，3，5}，{2，8，9}，{3，7，9}，{4，6，9}，{4，7，8}，{5，6，9} 、

　３つの数のうち一の位が奇数になる並べ方は、

　奇数が１つのもの {2，8，9}，{4，6，9}，{4，7，8}，{5，6，9} の並べ方が２通りずつ、

　奇数が２つのもの {1，2，7}，{1，3，6}，{1，4，5}，{2，3，5} の並べ方が４通りずつ、

　奇数が３つのもの {3，7，9} の並べ方が６通りだから、

　18で割って１余る並べ方は全部で、2･4＋4･4＋6＝30 通りです。

　従って、18で割って１余る確率は 30/504＝5/84 になります。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

　一の位は奇数で，十の位を何にした場合も，(３個の数字の和が 10 または 19 になるように)

　３桁の数が９で割って１余るようにする百の位の数字(1～9)が１つに限定されます。

　一の位の奇数ｎに対し，1～9 のうちで十の位として適さないのは，

　一の位と十の位が一致する n ，　

　一の位と百の位が一致する 10－2n または 19－2n ，　

　十の位と百の位が一致する (19－n)/2 ，　

　また，和が 10 または 19 になるように決めるので，３個とも一致することはありません。

　よって，一の位(奇数)を決めると，十の位として適するのは６通りです。

　一の位，十の位，百の位の順に考えれば，確率は (5/9)(6/8)(1/7)＝5/84 です。

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