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[答585] 十三路盤に14個の碁石

ヤドカリ

ヤドカリ



[答585] 十三路盤に14個の碁石


 図のように囲碁の十三路盤の縦横の直線の交点の 14ヶ所に碁石(黒石)を置くとき、

 縦横 26本のどの直線上にも少なくとも1個の碁石が乗るような置き方は 13!×□ 通りあります。

 □に適する数は?


[解答]

 縦横 13本ずつの直線のうちそれぞれ1本の直線上には2個の碁石が乗ることになります。

 この直線(赤い線)の選び方は 132 通りあります。

 赤い線の交点に石を置くとき、左下図のように、

  縦横の赤い線上の他の場所から碁石を置く場所を決める方法が 122 通り、

  あと 11個の碁石を赤青の線を避けて置く方法は 11! 通りです。

 赤い線の交点に石を置かないとき、右下図のように、

  縦横の赤い線上の他の場所から碁石を置く場所を決める方法が 1222 通り、

  あと 10個の碁石を赤青の線を避けて置く方法は 10! 通りです。

 従って、その総数は、

 132{122・11!+(12・11/2)2・10!}=132・122・11!・(1+11/4)=13!・13・12・(1+11/4)=13!・585 通りになり、

 □に適する数は 585 です。


☆ 同様に、n路盤に (n+1)個の碁石を 2n 本のどの直線上にも少なくとも1個が乗るように置く方法は、

 n!・n(n-1){1+(n-2)/4}=n!・n(n-1)(n+2)/4 通りになります。

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Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

この問題は、内容・時間両面とも大変楽しませていただきました。

最初は、2,3,4,5,6,7路盤における(n+1)個の碁石を配置できる場合数をプログラムを組み、数え、そこから一般式を推定し、13路盤において「585」が出てきたので良しとしました。
しかし、どのようにこの一般式が出てくるのか分かりませんでした。

その後、何回かプログラムの改良を試み、最初 7路盤での解読に5時間かかっていたのを1分未満に短縮できました。
また、一般式の導出も、自分なりに納得できる考えがまとまりました。自分は、
13個の碁石が全ての縦・横線をカバーしている状態(13!)を基点に、①この状態に1個配置する場合(13!*n*(n-1))
②この状態から1個除き、為に空白となった縦線と横線に1個ずつ配置する場合(13!*n*(n-1)/2*(n-2)/2) と考えました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは同じく面白かったでっす♪
最初、場合分けが必要なことに気づけませんでしたが...
理屈がわかれば解けるものなんですねぇ☆
コメ欄でn+2個の場合に触れられてましたが...これは上2ケースにもう1個追加することを考えればいいのかな?...^^;...Orz~

たけちゃん  
No title

tsuyoshik1942さんのように,対応関係で考えるのもありですが,
考え方が少しやっかいになりがちですね.
n!*n*(n-1)/2*(n-2)/2で言えば,
なぜn-2であってn-1ではないのか,2箇所の「/2」は何を意味するか
は幾分難しい気がします.

対応関係を前面に出す私なりの方法を提示してみます.

解答の,赤い線の交点に石を置く置き方をA型とし,それ以外をB型とします.

A型の石を1つだけ動かしてB型を作るには,
赤線の一方にだけ乗っている2つの石X,Yの一方を,
赤線でない線に沿って,XYが同一線上にこないように動かす2(n-2)通り.
B型の石を1つだけ動かしてA型を作るには,
赤線上の石4つのどれかを,
赤線でない線に沿って,他のいずれかの赤線上の石と同一直線上にくるように動かす8通り.

よって,B型の置き方はA型の置き方の2(n-2)/8倍であり,
置き方の総数は,n!*n(n-1)*(1+(n-2)/4)=n!*(n-1)n(n+2)/4.

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
シライトソウは以前ブログで見せて頂いただけでまだ実物を見たことはありません

清楚な感じがいいですね
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

こんばんわ。
一度私も撮ってみたいのですが、出くわさないのですf(^。^;

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
おおいに愉しんで頂いたようで嬉しいです。
私は意図していませんが、プログラムでも愉しんで頂いたようですね。
13個の碁石に1個増やせばどうなるかが作問の出発点ですので、
貴殿の考え方はよく分かるのですが、
また、一般式については私の解答と等価ですが、
説明となれば、どれだけ厳密に書くべきか迷います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとを有難う御座います。
n+2個の場合は1行に3個を置く場合、2行に2個ずつ置く場合が、
縦横の線について存在し、場合分けが面倒なので、考える気がしませんでした。

tsuyoshik1942  
No title

たけちゃんさんのご指摘、
>なぜn-2であってn-1ではないのか,2箇所の「/2」は何を意味するか
は幾分難しい気がします.
は、その通りだと思います。
事実、うまく説明できないので逃げてしまいました。
今また、記述を始めましたが、中座、半端のままですがここで止めます。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
A型の場合の数はすぐに分かりますので、B型の方を数えればいいのですが、
頭で分かっていることを文章で表すのは面倒ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
シライトソウはあまり明るくない水分の多い所で見かけます。
其方で見られるかどうかは知りませんが、出会う機会があればいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
湿った山道で見かけるかも知れません。
貴女も出会う機会があればいいですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、再度のコメントを有難う御座います。
説明を尽くすのは難しいものですね。

たけちゃん  
No title

tsuyoshik1942さんの②を,私なりに書いてみたので提示しておきます.
ただし,どうもあまり分かりやすくはなりませんでした.

②この状態から1個除き(P)、為に空白となった縦線と横線に1個ずつ配置する場合について,
まず,縦線の配置位置Qはn-1通り.
次に,横線の配置位置Rは,PQRを3頂点にもつ長方形の残り1頂点に
石がない位置に限る(そうでないと,①でカウント済みの置き方になる)
ので,n-2通り.
さらに,この手順で得られる置き方は,同一線に2つの石がある線が1本ずつある.
それを直線x=a, y=bとして,これらの直線上の4つの石の位置を
(a,c),(a,d),(e,b),(f,b)とすれば,
元々(e,c),(e,d),(f,c),(f,d)のいずれかにあった石を除いて
同様の手順で作り得る置き方であり,同じ置き方を4回数えたことになる.
よって,②は n!*n*(n-1)*(n-2)/4通り.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、再度のコメントを有難う御座います。
気持ちに余裕があるときにゆっくり読ませて頂きます。

ひとりしずか  
No title

岩の傍らがお似合い~
シライトソウというんですね~
実物みたいものです・・

ナイス☆

ニリンソウ  
No title

園芸店でみますね、一度だけ南アルプスの鳳凰山で
見た時は感動でした
山小屋の脇に何気なく咲いていた姿
久し振りにいい花見せてもらいました
ナイス

tsuyoshik1942  
No title

たけちゃんさん、自分が為すべき説明を丁寧に分かりやすく解いてくださりありがとうございます。

同じことと思いますが、自分が((n-1)/2)*((n-2)/2)と表示した意味だけ添えさせていただきます。
先ず縦線にQ(a,c)を置くと、これと同列に既に(a,d)があり、この(a,d)とQ(a,c)の立場を入れ替えても可。従って2重にカウントしているので(n-1)/2、同様に横線に配置する時も2重カウントと考えました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ことらでは山の近くに行けば割に見られる花です。
湿り気のある日陰で咲いている姿がいいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
この花が咲いている姿を初めて見たとき、私も感動でした。
この時期に咲く、好きな花の1つです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
自分の考えを人に示すのは難しいですね。
私も最初、13個の碁石をもとに、追加と移動させる発想で問題を作ったのですが、
説明となると難しいので、上記のような解答にしました。