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[答586] 四角形の面積

ヤドカリ

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[答586] 四角形の面積


 図のように、AB=49,BC=42,CD=30,DA=25,cos∠D=1/5 の凸四角形ABCD があって、

 BA,BC,DC,DAを 2:1 に内分する点をそれぞれ E,F,G,H とします。

 四角形AEPHの面積が 四角形ABCDの面積の 15/74 になるように、四角形ABCDの内部に点P をとるとき、

 四角形CGPFの面積は?


[解答]

 まず、cos∠D=1/5 より、sin∠D=(2√6)/5 です。

 余弦定理より AC2=252+302-2・25・30cos∠D=1525-300=1225 、AC=35 で、

 △DAC=(1/2)・25・30sin∠D=150√6 です。

 また、BC:CD=CA:DA=AB:CA=7:5 だから、△ABC∽△ACD 、

 △ABC=(7/5)2△ACD=(49/25)・150√6=294√6 となって、

 四角形ABCDの面積を S とすれば、S=150√6+294√6=444√6 です。

 次に、EH//BD ,EH=BD/3 ,FG//BD ,FG=BD/3 だから、EH//FG ,EH=FG となって、

 四角形EFGHは平行四辺形です。

 また、△AEH+△CFG=(1/9)△ABD+(1/9)△CBD=(1/9)S 、同様に、△BEF+△DHG=(4/9)S です。

 従って、△PEH+△PFG=(1/2)・(平行四辺形EFGH)=(1/2){S-(1/9)S-(4/9)S}=(2/9)S 、

 四角形AEPH+四角形CGPF=(2/9)S+(1/9)S=(1/3)S 、

 四角形CGPF=(1/3)S-(15/74)S=(29/222)S=(29/222)・444√6=58√6 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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変わった花びらと色に惹かれます~

ナイス☆

樹☆  
No title

わぁ~アサザ・・・もうこの季節なんですね。。

おはようございます。。
わたしも行ってみようかな。
どうか・・消えないでね。。ナイスです

こっこちゃん  
No title

おはようございます

アワザ 初めて見ますが

水面に咲く花 なのですね
ヤサイの花に 似てますね
まっ黄で 元気 頂きました ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
わたしは...
PをBDに平行に移動したAC上で考えても同じだから...
□ABCD*(1/3-15/74)
と求めましたぁ ^^...Orz~

アキチャン  
No title

おはようございます。
まだ撮ったことがありませんが、撮りにくそうですね(o^-^o)
ナイス!

Yasuko  
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♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

アサザ✿もう咲きましたか゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
文化園のお花ですか?

月初めの・・・土日、は駐車料が無料なので行ってみようかなぁ~(笑)

ナイス!☆

ゆうこ つれづれ日記  
No title

あれれ~~
お初なお花です。
かぼちゃのお花ではないですよね…(^^ゞ
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「□ABCDを分割すると、2つの相似の三角形となり、その比をつかって四角形の面積が求まり」、また「Pをどこにとっても、2つの小さな四角形の和が等しくなり」大変お洒落な問題と思いました。
もっとも、それらに気づくのに、あちこち寄り道しました!

さっちゃんこ  
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こんばんは
以前見たことがある花ですが思い出せませんでした
「アサザ」なんですね
黄色で花弁も綺麗で可愛い花ですね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
仰る通りアサザです。
水面にこの花が咲いているの姿はいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
アサザの季節で睡蓮の季節でもあります。
水面も賑やかになってきましたね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントを有難う御座います。
水の上にも花が咲く季節になりました。
黄色の花には元気を貰えます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
もうこの季節です。
私にとっては割に馴染みのある花で、何ヶ所かで見たうちの1つです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アサザの花が水面に咲く季節になりました。
たくさん咲いている姿はいいものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
考え方はいろいろあると思います。
愉しんでいただき、作問した甲斐があります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
水面に咲く花ですので、近づけないときは撮りにくいですが、
水面に近づけるときはそうでもありません。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このアサザは仰る通り花の文化園に咲いていたものですが、浜寺公園でも見ました。
花の文化園はいつ行ってもいい所ですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
言われてみればカボチャの花に似ていますね。
水面に咲くアサザの花です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
回り道をされているのはいろいろと考えておられるからでしょう。
Pの位置が限定されなくても面積が変わらないのが面白いですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
私は毎年のように出会う花ですので、名前は覚えていますが、
久しぶりに見る時は思い出すのに時間がかかります。
よく見ると花弁の形も複雑です。