[答586] 四角形の面積
[答586] 四角形の面積
図のように、AB=49,BC=42,CD=30,DA=25,cos∠D=1/5 の凸四角形ABCD があって、
BA,BC,DC,DAを 2:1 に内分する点をそれぞれ E,F,G,H とします。
四角形AEPHの面積が 四角形ABCDの面積の 15/74 になるように、四角形ABCDの内部に点P をとるとき、
四角形CGPFの面積は?
[解答]
まず、cos∠D=1/5 より、sin∠D=(2√6)/5 です。
余弦定理より AC2=252+302-2・25・30cos∠D=1525-300=1225 、AC=35 で、
△DAC=(1/2)・25・30sin∠D=150√6 です。
また、BC:CD=CA:DA=AB:CA=7:5 だから、△ABC∽△ACD 、
△ABC=(7/5)2△ACD=(49/25)・150√6=294√6 となって、
四角形ABCDの面積を S とすれば、S=150√6+294√6=444√6 です。
次に、EH//BD ,EH=BD/3 ,FG//BD ,FG=BD/3 だから、EH//FG ,EH=FG となって、
四角形EFGHは平行四辺形です。
また、△AEH+△CFG=(1/9)△ABD+(1/9)△CBD=(1/9)S 、同様に、△BEF+△DHG=(4/9)S です。
従って、△PEH+△PFG=(1/2)・(平行四辺形EFGH)=(1/2){S-(1/9)S-(4/9)S}=(2/9)S 、
四角形AEPH+四角形CGPF=(2/9)S+(1/9)S=(1/3)S 、
四角形CGPF=(1/3)S-(15/74)S=(29/222)S=(29/222)・444√6=58√6 です。
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