[答586] 四角形の面積

[答586] 四角形の面積


　図のように、AB＝49，BC＝42，CD＝30，DA＝25，cos∠D＝1/5 の凸四角形ABCD があって、

　BA，BC，DC，DAを 2：1 に内分する点をそれぞれ E，F，G，H とします。

　四角形AEPHの面積が 四角形ABCDの面積の 15/74 になるように、四角形ABCDの内部に点P をとるとき、

　四角形CGPFの面積は？


[解答]

　まず、cos∠D＝1/5 より、sin∠D＝(2√6)/5 です。

　余弦定理より AC²＝25²＋30²－2･25･30cos∠D＝1525－300＝1225 、AC＝35 で、

　△DAC＝(1/2)･25･30sin∠D＝150√6 です。

　また、BC：CD＝CA：DA＝AB：CA＝7：5 だから、△ABC∽△ACD 、

　△ABC＝(7/5)²△ACD＝(49/25)･150√6＝294√6 となって、

　四角形ABCDの面積を S とすれば、S＝150√6＋294√6＝444√6 です。

　次に、EH//BD ，EH＝BD/3 ，FG//BD ，FG＝BD/3 だから、EH//FG ，EH＝FG となって、

　四角形EFGHは平行四辺形です。

　また、△AEH＋△CFG＝(1/9)△ABD＋(1/9)△CBD＝(1/9)S 、同様に、△BEF＋△DHG＝(4/9)S です。

　従って、△PEH＋△PFG＝(1/2)･(平行四辺形EFGH)＝(1/2){S－(1/9)S－(4/9)S}＝(2/9)S 、

　四角形AEPH＋四角形CGPF＝(2/9)S＋(1/9)S＝(1/3)S 、

　四角形CGPF＝(1/3)S－(15/74)S＝(29/222)S＝(29/222)･444√6＝58√6 です。

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