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[答587] 三角形の辺の比

ヤドカリ

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[答587] 三角形の辺の比


 円と ∠C=60゚の△ABCがあって、この円は 点Bで半直線CBに接し、半直線CAにも接し、

 辺ABを 9:40 に内分する点を通るとき、△ABCの辺の比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 比を求めればよいので、BC=40 とすれば、円の半径は 40/√3 になり、

 xy平面上で、B(0,0),C(40,0),円の中心を(0,40/√3)とします。

 この円を (0,0)を中心として 49/40 倍に拡大すれば 中心は(0,49/√3),半径は 49/√3 で、

 方程式は x2+(y-49/√3)2=2401/3 です。

 Aはこの円周上にあり、y=-(√3)(x-40) すなわち y=-(√3)x+40√3 上にもあるから、

 x2+{-(√3)x+40√3-49/√3}2=2401/3 、x2+{-(√3)x+71/√3}2=2401/3 、

 4x2-142x+880=0 、2x2-71x+440=0 、(x-8)(2x-55)=0 、x=8,55/2 、

 A(8,32√3) または A(55/2,(25/2)√3) です。

 A(8,32√3)のとき、CA=64,AB=56 だから、BC:CA:AB=40:64:56=5:8:7 、

 A(55/2,(25/2)√3)のとき、CA=25,AB=35 だから、BC:CA:AB=40:25:35=8:5:7 です。


[解答2]

 半直線CAと円との接点をPとすれば、△PBCは正三角形になります。

 点Aが CPの延長上にあるとき A1 ,CP上にあるとき A2 として区別することにします。

 また、A1B と円の交点を Q ,A1Q=9k,A1B=49k とすれば、

 方べきの定理により、A1P2=A1Q・A1B=441k2 だから、 A1P=21k です。

 余弦定理により、A1B2=A1P2+BP2-2・A1P・BP2・cos120゚ 、

 2401k2=441k2+BP2+42kBP 、(BP+56k)(BP-35k)=0 、BP=35k です。

 BC=CP=BP=35k ,CA1=CP+PA1=35k+21k=56k だから、BC:CA1:A1B=35k:56k:49k=5:8:7 です。

 A1,A2 は、円を B を中心として 49/40 倍に拡大した円周上にあるから、

 △A2BC∽△BA1C になって、BC:CA2:A2B=A1C:CB:BA1=8:5:7 です。

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Comments 19

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古い人  
No title

今日の花は大山レンゲですか。

白くて綺麗な花で蕊が赤みを帯びた花ですね。
市中では余り見かけませんね。
ナイス。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
図を描いて...候補は2点あることに気づけて♪...
方ベキと余弦の式から求めました☆
これは比較的すんなり解けましたぁ^^
正三角形になることには気づかないまんまでしたけど...^^;

この可憐な花は何なんだろ?...『きみの名は?』...^^

ひとりしずか  
No title

↑大葉大山蓮華というんでしょうか?
シベに特徴がありますね~

ナイス☆

ひとりしずか  
No title

検索したら次のような記述がありました~
別に「天女花(オオヤマレンゲと読む)」というのがあるが、まさに「言い得て妙」である。
奈良県の大峰山や大台ケ原に群生地がある。それ故、「大山蓮華」という名前の「大山」は、大峰山を指す。すなわち、「大山蓮華」は、大峰山に咲く、ハスのような花ということを意味する。

ニリンソウ  
No title

オオヤマレンゲ豪華ですね
見逃さず何度も足を運ばないと・・・公園ですが

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗ですね~♪ これから、目にすることがありますでしょうか。。(o^-^o)
ナイス!

こっこちゃん  
No title

おはようございます

オオヤマレンゲですか

真っ白で ふんわり心地よい花ですね
こちらは 4日続きの雨が降ってます

花達も ぐったりしています 素敵な白に ナイス

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

純白の綺麗なお花ですぇぇ~(^O^)/

お花の名前・・・ど忘れしましたぁ~

ナイス!☆

tsuyoshik1942  
No title

半直線の言葉を知らず、その意味を漠然と線分と同意と思い込み、2個目の答は見逃しました。
前に「優角・劣角」で同じような過ちをしたことを思い出しました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
少し下向きに咲く姿 大山蓮華のようですね
真っ白な花姿が綺麗で「山の貴婦人」とも呼ばれているようですね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、オオヤマレンゲです。
この優雅な姿に心惹かれるものを感じました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
2種類の三角形が相似になることも分かれば、楽ですね。
ところで、写真の花はオオヤマレンゲです。好きな花の1つです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オオヤマレンゲを調べて頂いたのですね。
白い優雅な花の姿は「天女花」の字にピッタリですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花が蕾の頃にも見ましたが、花を見逃すとこころ残りですので、
咲くのを待っていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
なかなか出合えない花だと思います。
出会えると嬉しい花の1つです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、真っ白で心地よい気持ちになる花です。
ところで、此方では今日は晴れて暑い日でした。
梅雨の中休みが今週中は続いて暑くなりそうです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花の名前はオオヤマレンゲです。白い花弁に惹かれる花です。
堺市の都市緑化センターで見ました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
わざわざ「半直線」と書いたのは、CA,CBとその延長を表したかったからです。
「半直線」は角度を説明するときによく使います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
「山の貴婦人」の別名も「天女花」の漢字もこの花の優雅な姿をよく表しています。
白い花弁の中の赤い蕊が印象的です。