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[答592] 円周の長さの極限

ヤドカリ

ヤドカリ



[答592] 円周の長さの極限


 n を3以上の自然数とします。

 図のように半径 30 の円に外接し、半径が等しく、隣同士互いに外接する n 個の円があります。

 この n 個の円の円周の長さの和を L として、n → ∞ のとき L → ?


[解答1] 正攻法

 n 個の円の半径を r とすれば、L=2nπr で、

 (30+r)sin(π/n)=r だから、r{1-sin(π/n)}=30sin(π/n) 、r=30sin(π/n)/{1-sin(π/n)} です。

 従って、L=60nπsin(π/n)/{1-sin(π/n)}=60π2sin(π/n)/〔(π/n){1-sin(π/n)}〕 、

 n → ∞ のとき sin(π/n)/(π/n) → 1 ,1-sin(π/n) → 1 、L → 60π2 です。


[解答2] 簡単に

 n 個の円の中心を次々につなげば正n角形ができ、この1辺が n 個の円の直径です。

 よって、L=π・(正n角形の周囲) となり、

 n → ∞ のとき 正n角形の周囲 → 半径 30 の円周 だから、 L → π・60π=60π2 です。

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Comments 16

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古い人  
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ノカンゾウ見事な群生ですね。

黄色の花も珍しいですね。
普通はオレンジが多いですね。
ナイス。

樹☆  
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おはようございます。。
昨日のお花と見比べていまい・・ほんとに似ていて
微妙に花びらが違いますね。。
さわやかなレモン色の群生・・夕方開花して翌朝には
しぼむなんて儚すぎです。
ユウスゲってどんな香り?ナイスです

こっこちゃん  
No title

おはようございます

今日のゆりは

ユウスゲですか ゆうがたに咲いて朝帰ると唄がありますよね
(笑) ナイス

ニリンソウ  
No title

おはようございます
昨日はそちらも暑かったのでしょう
この手の花は区別が出来ないですね

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
円の内側に並べた場合も...同じになりますね☆
面積は...半径30π/2nから(15π/n)^2*n になり...0になんですね ^^;
考えたらなんだか不思議ですけど...Orz~

アキチャン  
No title

おはようございます。
どれも区別がつきませんが、どれも綺麗ですね(o^-^o)
ナイス!

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」何度か読み返し、ようやく理解できました。
自分で解いている時にも、このような、スマートでトリッキーな手法の匂いを嗅いだのですが、掴めませんでした。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
ヘメロカリスの仲間のようですがはっきり名前が判りません
黄色の花が群生していてとても綺麗で元気をもらえますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
写真の花はユウスゲです。
ヘメロカリスには似たものが沢山あって紛らわしいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、ユウスゲです。たくさん咲いている姿に見とれました。
香りには注意しませんでしたが、眼で楽しませてもらいました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
ユウスゲのレモン色にうっとりしました。
ただ、私は唄までは頭に浮かびませんでした。無粋ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
此方は猛暑日が続いてグッタリです。
ヘメロカリスは区別が難しいですが、たくさん咲いていると見ごたえがあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
外接円の円周自体はもとの円の円周に近づきますが、
長さはもとの円周の長さには近づきません。
極限って注意して解かないと間違えやすいです。
なお、仰るように内接円についても同様です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ヘメロカリスの区別は難しいですが、咲く姿は爽やかですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
このような問題は正攻法で解く前に、予想を立てて、
その答が合っていると嬉しいものですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、似た花が多いヘメロカリスは区別が難しいですね。
でも、レモン色の群生はとてもきれいでした。