FC2ブログ

Welcome to my blog

[答593] 正方形の面積の平均

ヤドカリ

ヤドカリ



[答593] 正方形の面積の平均


 図のような 12行12列に 1cm間隔に並んだ 144個の点のうちの4個を頂点とする正方形は 1716個ですが、

 その 1716個の正方形の面積の平均は?


[解答]

 一般化し、n行n列に等間隔に並んだ n2 個の点のうちの4個を頂点とする正方形で求めます。

 図のように、縦横長さがkの正方形1つについて、

 それ自身とその辺上の4点でできる正方形の数はk個あります。

 縦横長さがkの正方形は (n-k)2 個あるから、

 全部で、(n-k)2k=n2k-2nk2+k3 個。

 k=1,2,3,……,n-1 として、その和を求めると、
 n-1
 Σ(n2k-2nk2+k3)=n2・(n-1)n/2-2n・(n-1)n(2n-1)/6+(n-1)2n2/4
 k=1
  =n2(n-1){ 6n-4(2n-1)+3(n-1) }/12=n2(n-1)(n+1)/12 個となります。

 縦横長さがkの正方形の4辺を a:(k-a) に内分する点を結んでできる正方形の面積は、

 a2+(k-a)2=2a2-2ka+k2 だから、

 a=1,2,3,……,k (a=k のとき縦横長さがkの正方形自身)として、その和を求めると、
  k
 Σ(2a2-2ka+k2)=2・k(k+1)(2k+1)/6-2k・k(k+1)/2+k2・k=(2k3+k)/3
 a=1

 縦横長さがkの正方形は (n-k)2 個あるから、全部の面積は、

 (n-k)2(2k3+k)/3=(n-k)2{2(k-1)k(k+1)+3k}/3=2(n-k)2(k-1)k(k+1)/3+(n-k)2k

  =2{(k-2)(k+2)-2n(k+2)+(n+2)2}(k-1)k(k+1)/3+(n-k)2k

  =2{(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)-2n(k-1)k(k+1)(k+2)+(n+2)2(k-1)k(k+1)}/3+(n-k)2k

 k=1,2,3,……,n-1 として、その和を求めると、
 n-1
 Σ〔2{(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)-2n(k-1)k(k+1)(k+2)+(n+2)2(k-1)k(k+1)}/3+(n-k)2k〕
 k=1
  =2{(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)/6-2n(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)/5+(n+2)2(n-2)(n-1)n(n+1)/4}/3
  +n2(n-1)(n+1)/12

  =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2){10(n-3)-24n+15(n+2)}/90+n2(n-1)(n+1)/12

  =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)n/90+n2(n-1)(n+1)/12

  =(n-2)(n-1)n2(n+1)(n+2)/90+n2(n-1)(n+1)/12

 従って、面積の平均は、

 {(n-2)(n-1)n2(n+1)(n+2)/90+n2(n-1)(n+1)/12}/{n2(n-1)(n+1)/12}

  =12(n-2)(n+2)/90+1=(2n2-8)/15+1=(2n2+7)/15 です。

 本題は n=12 の場合だから、(2・122+7)/15=59/3 (cm2) です。

.

スポンサーサイト



Comments 14

There are no comments yet.
樹☆  
No title

わぁ~~
あいさつも忘れるくらいすてき。。
とても不思議な樹です^^
白い樹はいっそう美しいですね。ナイスです

アキチャン  
No title

こんばんわ。
白い方が、もっとケムリのようですね(o^-^o)
ナイス!

古い人  
No title

今日の花はスモークツリーですね。

綺麗でケムタク無い煙ですね笑う。
私も先日植物園で見てきました。
此れも長く楽しめますね。
ナイス。

ひとりしずか  
No title

こちらも見事にもくもく~

ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

解説、読ませていただきました。途中から、逐行トレースが不全ですが、道筋は理解できました。

リコメの中の「一般式」に触発され、自分もこれの導出を試みました。
もっとも、自分は、この問の答「59/3」を得たときと同じ手法(PCの腕力)で n:2,3,4,5,6の時の答:1,10/6,52/20,190,553/105を得、そこから(2n^2+7)/15を得ました。個数よりも簡明な式で驚きました。
正当な手法解説を楽しみにしておりました。

ニリンソウ  
No title

グリーンの煙ですか。
これも面白いですね

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
今日はグリーンのスモークツリーですね
爽やかな色で涼しげに見えますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
とても不思議なスモークツリーですが、
一昨日の写真の赤っぽいスモークツリーの横に並んで咲いていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白っぽくて煙のようでした。
見るほどに面白い樹木だと思います。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰るように、花期が長くて楽しめる花ですね。
火事の煙と違って安心して近づけます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントを有難う御座います。
見事に咲いていました。
モクモクした感じが不思議です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
一般化して計算するとかなり面倒ですが、
やっていることは具体的な数の場合と同じ。
ゆっくりご覧下さいね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この前のスモークツリーの横に並んで咲いていたので、白っぽく見えました。
面白い樹木です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
白っぽいので、仰るように涼しさを感じます。
煙のような姿が不思議です。