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[答594] 逆順に並ぶ数の計算

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答594] 逆順に並ぶ数の計算


 数字の並びが 103 と 301 のように逆である3桁の自然数 a,b が 5a=6b を満たすとき、a=?

 また、数字の並びが逆である4桁の自然数 a,b が 5a=6b を満たすとき、a=?


[解答]

 3桁の場合、a,b の百の位も一の位も 0 ではありません。

 5a=6b より、b は 5の倍数なので、b の一の位は 5 になり、従って a の百の位も 5 で、

 500≦a<600 、2500≦5a<3000 、2500≦6b<3000 、417≦b<500 、

 b の百の位は 4 になり、従って a の一の位も 4 です。

 a,b の十の位を k とすれば、a=504+10k,b=405+10k となって、

 5a=6b より、5(504+10k)=6(405+10k) 、2520+50k=2430+60k 、k=9 、a=594 です。


 4桁の場合、a,b の千の位も一の位も 0 ではありません。

 3桁の場合と同様に、a は 千の位が 5,一の位が 4 で、 b は 千の位が 4,一の位が 5 です。

 a の 百の位を m,十の位を n とすれば、a=5004+100m+10n,b=4005+100n+10m だから、

 5a=6b より、5(5004+100m+10n)=6(4005+100n+10m) 、25020+500m+50n=24030+600n+60m 、

 990+440m=550n 、9+4m=5n 、4(m+1)=5(n-1) 、1≦m+1≦10,-1≦n-1≦8 を考慮して、

 (m+1,n-1)=(5,4),(10,8) 、(m,n)=(4,5),(9,9) 、a=5454,5994 です。


[参考]

 一般に、数字の並びが逆であるn桁の自然数 a,b が 5a=6b を満たすとき、

 a は6の倍数で、b は5の倍数だから、bの末位は5,aの首位も5となり、

 5・10n-1≦a<6・10n-1 、b=(5/6)a だから、(25/6)・10n-1≦b<5・10n-1

 bの首位は4となり、aの末位も4です。

 ここで、この条件を満たすn桁の自然数 a の集合を Sn とすれば、

 S2={54}={6k|k=9},S3={594}={6k|k=99}で、

 6(10n-1-1)=599…994,5(10n-1-1)=499…995 だから、6(10n-1-1) は Sn の最大の要素です。

 これ以外の Sn の要素 6x について、

 6(10n-1-1)-6x を計算して末尾に 0 が k 個あれば、 {6(10n-1-1)-6x}/10k∈Sn-2k になります。

 S2={6k|k=9} より S4={6k|k=999,909} 、

 この2つより、S6={6k|k=99999,99099,90009,90909}、

 この3つより、S8={6k|k=9999999,9990999,9900099,9909099,9000009,9009009,9099909,9090909}、

  ………………

 S3={6k|k=99} より S5={6k|k=9999,9009} 、

 この2つより、S7={6k|k=999999,990099,900009,909909}、

  ………………

 のように求めていけば、

 Sn={6k|k は 9,0 だけからなる n-1 桁の回文数}であることが分かります。

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Comments 16

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古い人  
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今日の花は何でしょう。

カライト草に似ていますね。
ピンクで猫の尻尾のような花思い浮ばないね。
ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます。
この花はなんだろ?
ブラシみたい♬
ナイスです

ニリンソウ  
No title

やどかりさん、ホザキシモツケ(穂咲下野)でしょうか
絶滅危惧種珍しいですね

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じでした。

[参考」すごく参考になりました。
リコメに触発され、自分も一般解に挑戦してみましたが出来ませんでした。
{6k|k=9}の記述の意味から調べなくてはならぬ身としては、少々きついですが、解説を読ませていただき、分かったような気がしてきました。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
穂咲きシモツケのようですが花付きが見事ですね
この花は未だ見かけることは少ないですね
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
参考...未解読...^^;
but...
5*9=45・・・6*9=54
2*9=18・・・9*9=81
3*9=27・・・8*9=72
4*9=36・・・7*9=63
でもありえそうなのかいなぁ...^^;...?

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴殿の今日の記事もシモツケでしたね。
この花はホザキシモツケで、シモツケと同じバラ科の植物です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花はホザキシモツケです。
シモツケといっても花の付き方が全然違います、穂咲きだから。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
流石によくご存知ですね。
絶滅危惧種と知らずに撮りましたが、調べて見るとそうですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
集合はよく、{式|文字の条件}という書き方をします。
条件を満たす文字について、|の前の式の値になるもの全部を要素とする集合です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
仰る通りホザキシモツケです。
珍しいものを見たので思わずカメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
「5a=6b」の所を、「4a=7b」「3a=8b」「2a=9b」にしても
問題が成立しますね。

アキチャン  
No title

おはようございます。
かわいい色ですね。私は初見のような気がします(o^-^o)
ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私も初めて見たような気もします。
シモツケも何種類かあるのですね。

ひとりしずか  
No title

ホザキシモツケというんですか・・
びっしりの花に長い雄しべもこれまたいっぱいで~
分布域限られているんですね~
絶滅危惧種、貴重ですネ
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントを有難う御座います。
ホザキシモツケという珍しい花でした。
撮った時は絶滅危惧種とは知りませんでした。