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[答595] 17段の階段の上がり方

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答595] 17段の階段の上がり方


 階段を上がるとき、1段上がるか2段上がるかを組み合わせて 17段の階段を上がる方法は何通り?

 ただし、連続して2段上がれないものとします。


[解答1]

 2段上がる回数は 0,1,2,3,4,5,6 回のいずれかです。

 例えば、2段上がる回数が4回の場合、1段上がる回数は9回で、

 |








| のうちの、

 縦線の所4ヶ所に
を入れれば上がり方を示せるから、その総数は、104 になります。

 従って、問題の総数は、

 1801611421231048566=1+16+91+220+210+56+1=595 になります。


[解答2]

 2段上がる回数は 0,1,2,3,4,5,6 回のいずれかです。

 例えば、2段上がる回数が4回の場合、1段上がる回数は9回で、

 |






| のうちの、

 5本の縦線の所のうち重複可で6ヶ所に
を入れれば上がり方を示せるから、その総数は、56 になります。

 従って、問題の総数は、

 11821531249566370=1+16+91+220+210+56+1=595 になります。


[解答3]

 n段の階段を上がる方法を an 通りとします。

 17段の階段を上がるとき、最後に1段上がる場合は a16 通り、

 最後に2段上がる場合は、その前は1段上がることになり a14 通りだから、

 a17=a16+a14 で、一般に、an=an-1+an-3 が成り立ちます。

 a1=1,a2=2,a3=3 だから、 a4=a3+a1=4 ,a5=a4+a2=6 , a6=a5+a3=9 ,a7=a6+a4=13 ,

 a8=a7+a5=19 , a9=a8+a6=28 ,a10=a9+a7=41 ,a11=a10+a8=60 , a12=a11+a9=88 ,

 a13=a12+a10=129 ,a14=a13+a11=189 , a15=a14+a12=277 ,a16=a15+a13=406 ,

 a17=a16+a14=595 になります。


☆ 漸化式 an=pan-1+qan-2+ran-3 について、

 特性方程式 x3=px2+qx+r が異なる解α,β,γをもつとき、

 定数 A,B,C を使って、an=Aαn+Bβn+Cγn と表されることが知られています。

 本問では、K=3√{(29-3√93)/2},L=3√{(29-3√93)/2} とすれば、

 特性方程式 x3=x2+1 の解は、

 (1+K+L)/3,{2-(1-i√3)K-(1+i√3)L}/6,{2-(1+i√3)K-(1-i√3)L}/6 になり、

 これを α,β,γ として、an=Aαn+Bβn+Cγn

 ここで、a1=1,a2=2,a3=3 となるように、定数 A,B,C を決めれば、一般式を得ることはできますが、

 計算は困難です。

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Comments 20

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます。
そんなに正面から見られると・・はじゅかし。。
ナイスです

ひとりしずか  
No title

あどけない子どものイメージ~

ナイス☆

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ピンクで 素敵な カンパニラですか

この花も色んな呼び方がありますよね ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
真正面から観ると、違うお花のようですね(o^-^o)
可愛い色♪ナイス!

ニリンソウ  
No title

カンパニュラのピンクも可愛らしいこと
ベルの形がいいですね

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
二通りの解法で考えて欲しいって書かれてあったので...たぶん漸化式だろうと思うも...立式思い至らず...^^;...勉強になりましたぁ☆...
修行が足りず...至らぬことのみ多かりき...Orz...

たけちゃん  
No title

あまり目覚しい結果ではありませんが,一応提示しておきます.
(途中は大幅に省略し,ほぼ結果のみを書きます)

n段のときの場合の数a[n]は,x^3=x^2+1の解を用いて表されます.
この方程式は,実数解1つと,互いに共役な虚数解2つをもち,
実数解は1より大きく,虚数解の絶対値は1より小さいことがわかります.
解き易さの都合から,逆数を解とする方程式x^3+x-1=0を考えると,
その実数解αは1つだけであり,
α=t-1/(3t), (ただし,t=(√(31/108)+1/2)^(1/3))
となり,その近似値はα≒0.6823278038です.

この解αを用いて,a[n]は,1/((3-2α)(α^(n+1))) に最も近い整数となります.

tsuyoshik1942  
No title

二通りを、自分は最初、「解答1」と「解答2」と解しました。但し、後で、この二つの考え方は「兄弟」みたいなものなので、第2者として、他の手法(やはり、漸化式)を思い描きました。が、それはゴールできませんでした。

たけちゃんさんのコメント、自分にはまったく意味不明!
そう言えば、リコメの中に[3次式」なる言葉があったですね!
これは、識る人は知る[事柄」ですか?

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
紫のカンパニュラは高貴な感じですが ピンクのカンパニュラは優しい感じがしますね
釣鐘を沢山ぶら下げた「ツリガエソウ」もいいけど
カンパニュラと呼ぶと優しく見えてくるのも面白いです

ナイス☆彡

たけちゃん  
No title

すみません,私のコメントは省きすぎで,
詳細を追っていただける形にはなっていませんでした.

「3次式」ですが,漸化式 a[n+3]+pa[n+2]+qa[n+1]+ra[n]=0 の解は,
x^3+px^2+qx+r=0が異なる3解α,β,γをもつとき,a[n]の一般項は,
定数A,B,Cを用いてAα^n+Bβ^n+Cγ^nと表されることが知られています.

本問では,方程式はx^3-x^2-1=0 となりますが,
因数分解ができないので,これを用いて一般項を求めるのはあまり
得でないというのが一般的な見解です.
ただ,実数解以外はn乗が0に近づくので,
実数解を求めれば,一般項は近似値が得られる,というのが先のコメントです.

提示した近似値で,1/((3-2α)(α^(n+1))) の値を順に計算してもらうと,
事実としてa[n]がこれに近い整数となることがわかると思います.

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
同じカンパニラでもピンクからは優しい感じを受けます。
色で感じが変わりますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
薄紫のカンパニラがなるべく入らないように撮ったら正面になりました。
恥ずかしがっていたのは気づきませんでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントを有難う御座います。
確かに、紫は大人の雰囲気があり、ピンクは幼い感じがします。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
釣鐘にも風鈴にも見えますね。
名前から受ける印象もあり、言霊の存在を感じます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花も撮り方によって面白く撮れますね。
まだまだ工夫の余地がありそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
ピンクは可愛い色ですね。
ピンクの花が多いのも分かるような気がします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
漸化式は応用範囲の広いものだと思います。
解ける解けないは別として、PCで計算させるにはいい方法です。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、2度にわたるコメントを有難う御座います。
漸化式を解くことは、私も頭の片隅にはありました。
ただ、説明が大変で、特性方程式の解がきれいにならず、
言及する気にならなかったので、割愛しました。
貴殿がコメントしてくれましたので、加筆しました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、識る人は知る[事柄」です。
加筆しましたので、ご覧下さい。
フィボナッチ数列なら、2次方程式ですみますので、
その一般項の求め方に興味があれば調べてみて下さい。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
「カンパニュラ」は小さな鐘の意味ですので、意味を知らないものが聞いても、
優しい響きがあるのでしょうか。