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[答596] 見える緑の部分の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答596] 見える緑の部分の面積



 図のように、面積が 18cm2 の正方形の紙の中央に 面積が 8cm2 の緑の正方形が描かれています。

 この紙が沢山あり、片方の対角線が一直線上にあるように、

 左から右へと、右の紙が上になるように次々と重ねて貼り合わせます。

 端から端まで 3m であるとき、見える緑の部分の面積Sを最大にする紙の枚数は?

 また、面積Sの最大値は?


[解答]

 この正方形の対角線の長さは 6cm で、緑の正方形の対角線の長さは 4cm です。

 貼り合わせる紙を n+1 枚とし、 緑が隠れる部分(正方形)の対角線の長さを a1,a2,……,an cm とすれば、

 (5-a1)+(5-a2)+……+(5-an)+6=300 、 a1+a2+……+an=5n-294 になり、

 S=(8-a12/2)+(8-a22/2)+……+(8-an2/2)+8 、 a12+a22+……+an2=16n+16-2S です。

 ここで、コーシー・シュワルツの不等式により、次の不等式が成り立ちます。

 (12+12+……+12)(a12+a22+……+an2)≧(1・a1+1・a2+……+1・an)2

 ( 等号が成り立つのは、a1=a2=……=an のときです )

 よって、 n(16n+16-2S)≧(5n-294)2 、 -2nS≧25n2-2940n+2942-16n2-16n 、

 -2S≧9n-2956+2942/n 、

 ここで、相加・相乗平均の関係により、9n+2942/n≧2√(9n・2942/n)=2・3・294=1764 、

 ( 等号が成り立つのは、9n=2942/n 、n=98 のときです )

 よって、-2S≧1764-2956 、S≦596 になります。

 結局、面積Sを最大にする紙の枚数は 99枚で、面積Sの最大値は 596cm2 です。

 このとき、 a1+a2+……+an=5n-294 、a1=a2=……=an より、

 98a1=5・98-294 、a1=5-294/98=2 だから、

 緑が隠れる部分(正方形)の対角線の長さは 2cm ずつです。

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Comments 20

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ニリンソウ  
No title

ハナウドかな?
レースフラワーかな、小花の集合体が華やかです

ナイス

uch*n*an  
No title

>97a1=5・97-294 、a1=5-294/97=191/97 だから、
>緑が隠れる部分(正方形)の対角線の長さは 191/97cm ずつです。
あれ? n = 98 なので,a1 = 2 cm では? 対称性からもそんな気がしますが。
私が何か勘違いしてるのかな?

たけちゃん  
No title

私は,隣接する2枚のずれxcmに対する,
下の紙で緑が見える面積ycm^2の割合を考察しました.

相加平均と相乗平均を用いて,y/xは,x=3のとき最大値2をとることがわかるので,
Sを最大にする枚数は1+294/3=99,Sの最大値は 8+294*2=596(cm^2)
とできます.

なお,uch*n*anさんも指摘されていますが,解答の最終2行は
「98a1=5・98-294 、a1=5-294/98=2 だから、
緑が隠れる部分(正方形)の対角線の長さは 2cm ずつです。」
が正しいと思います.

アキチャン  
No title

お花の名前は、忘れましたf(^。^;
綺麗です♪(o^-^o)ナイス!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

レースフラワーかしら?
涼やかなお花で、いいですね。
押し花にしてみたいお花です。
ナイス☆

こっこちゃん  
No title

こんにちは!(^^)!

レースフラワーかしら

この花 散歩で良く見るのですが
心地よい眺めですよね ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは...何も考えることなく同形で考えてしまいましたが...^^;
あとで、そこに気付くも...どれかをそれ以上ずらすと増えるより減る方が多いからいいはずと思ってました...Orz
コーシー・シュワルツも相加相乗も使い切れないまんま...^^;;...

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
写真の花は、ホワイトレースフラワーです。
シシウドのように放射状に小さな花がついているのが綺麗です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントを有難う御座います。
このような花を見てレース編みは考えられたのでしょうか?
そのような感じがしてきます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
ホワイトレースフラワーと記されていました。
この花も何種類かあるようです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントと勘違いの指摘を有難う御座います。
早速訂正させて頂きました。
当然 n=98 ですが、問題番号が意識下にあったのでしょう。
n=97 で計算していましたね。
下から6行目に n=98 と書いてあるのに、自分でも信じられません。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、早速のコメントと勘違いの指摘を有難う御座います。
最後の1枚以外の緑の部分の割合で考えるのもいいですね。
[解答]も貴殿の解法も、最大になるときのnの値が自然数でなければ、
それに近い自然数値で比較しないといけないので、ストレートに出る問題にしました。

なお、ご指摘の件、完全なケアレスミスで、さっそく訂正いたしました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
写真の花はホワイトレースフラワーです。
全体的な形がいいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ほんとうに涼しげな花です。
上のほうだけつみとれば押し花にもなりそうですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントを有難う御座います。
私も散歩で見かけますが、そう度々ではありません。
見かけたら、仰る通り、心地よいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ま、こういう問題は、等間隔に貼り合わせるのが、最大になりそうですね。
そうでないような問題を作りたいです。

樹☆  
No title

こんばんは
きれ~~~い。これでテーブルを飾りたいです^^
編み物すると肩が凝るけど・・これは見てても
肩は凝りません^^ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
肩こりはいけませんね。
白い花の好きな貴女なれば、お好みの花かと思います。

さっちゃんこ  
No title

こん日は

昨日コメント入れたのですが投稿の仕方が悪かったようです
コメントなしの状態になりすみませんでした

ホワイトレースフラワーだったのですね
せりの仲間かと思っていました
レースのように花が広がりとても奇麗ですね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
セリ科なので、せりの仲間というのは正解です。
レースの形によく似ていますね。