FC2ブログ

Welcome to my blog

[答597] 4個の正六角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答597] 4個の正六角形


 図のように、面積が S の正六角形が2個あり、一方には内角が 60゚,20゚,100゚ の三角形、

 他方には内角が 60゚,10゚,110゚ の三角形を、内側に6個ずつ並べ、正六角形を作ります。

 内側にできる2つの正六角形をの面積の和 A が A=796 のとき、S=?


[解答1]

 2種類の三角形の 外接円の半径は等しく、R とすれば、もとの正六角形の1辺は 2Rsin60゚ だから、

 S=6・{(√3)/4}(2Rsin60゚)2=(9√3)R2/2 になります。

 外接円の半径が R,内角がα,β,γである三角形の面積は 2R2sinαsinβsinγ だから、

 内角が 60゚,20゚,100゚ の三角形の面積は、2R2sin60゚sin20゚sin100゚ 、

 内角が 60゚,10゚,110゚ の三角形の面積は、2R2sin60゚sin10゚sin110゚ になり、

 6個ずつ 12個の三角形の面積の和は、

 12R2sin60゚(sin20゚sin100゚+sin10゚sin110゚)=-6R2sin60゚(cos120゚-cos80゚+cos120゚-cos100゚)

  =-6R2sin60゚(2cos120゚)=(3√3)R2 です。

 よって、A=2・(9√3)R2/2-(3√3)R2=(6√3)R2 、R2=A/(6√3) 、

 S=(9√3)R2/2=(9√3)A/(6√3)/2=3A/4=3・796/4=597 です。


[解答2]

 2種類の三角形の 外接円の半径は等しく、R とすれば、もとの正六角形の1辺は 2Rsin60゚ です。

 内角が 60゚,20゚,100゚ の三角形6個の内側の正六角形の1辺の長さは、

 2Rsin100゚-2Rsin20゚=2R(sin100゚-sin20゚)=2R・2cos60゚sin40゚=2Rsin40゚ 、

 内角が 60゚,10゚,110゚ の三角形6個の内側の正六角形の1辺の長さは、

 2Rsin100゚-2Rsin20゚=2R(sin110゚-sin10゚)=2R・2cos60゚sin50゚=2Rcos40゚ です。

 S:A=(2Rsin60゚)2:{(2Rsin40゚)2+(2Rcos40゚)2}=3/4:1 、 S=796・3/4=597 です。


[解答3]

 下図のように、同じ大きさの円の一方に、面積がSの正六角形の 1/6 の正三角形を内接させ、

 他方に、内角が 60゚,20゚,100゚ の三角形と、内角が 60゚,10゚,110゚ の三角形を内接させると、

 正三角形と2つの三角形の面積比は 3:2 だから、

 S/6:(2S-A)/6=3:2 、S:(2S-A)=3:2 、3(2S-A)=2S 、6S-3A=2S 、4S=3A 、

 S=3A/4=3・796/4=597 になります。

.

スポンサーサイト



Comments 16

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

開ききる前の白い花びらが感じいいですね~

ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます。
クチナシ?香りがいいでしょうね。。ナイス

古い人  
No title

今日の花は何でしょう。

ナツツバキですかヒメシャラですか。???
判りません。
ナイス。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
これは辺の長さをたまたま正弦定理で表せることに思い至り...その後余弦定理でそれぞれの辺の2乗の和からの面積比から求めました...^^;v
途中で[解答1]の積和が使えて嬉しかったり...^^...Orz~
うちにも同じ花が活けてあったけど...可憐で品格あり☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
何のお花かしらf(^。^;(o^-^o)

uch*n*an  
No title

なるほど。[解答3]は,算数ではないですが,かなり算数ぽくっていいですね。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
真っ白の奇麗な花 クチナシなのかなー
八重咲きのクチナシは蕊まで見たことがなく判断がつきません_(._.)

花は清楚で素敵な花ですね
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答3]の面積比...やっとわかりましたぁ☆
辺が同じで、高さが、2倍...
左の正三角形=(1*1/2)*3:右の△2個=1*2/2
=3/2 : 1
=3 : 2

796=2S-(S/6)6*(2/3)=(4/3)S
S=796*(3/4)

なのね☆
思いつけない...^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title


解り難い撮り方ですがタイサンボクの写真です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
タイサンボクは開ききってしまうとだらしなく感じます。
蕾が少し開いた頃がいちばん好きです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上にも書いたようにタイサンボクです。
クチナシとは違う香りですが、タイサンボクもいい香りです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
タイサンボクが低い撮り易い所に咲くのを待ってやっと撮れました。
旨い具合にこの状態のタイサンボクに出会えました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、2度にわたるコメントを有難う御座います。
三角関数の公式をスッキリ使うのは気持ちがいいものですね。
それを算数のような解き方ができればなお嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上に書いたようにタイサンボクです。
あまり上から見ることはありませんね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
いろいろ考えて、ほとんど算数のような解き方を思いつきました。
思いつくと嬉しいものです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
タイサンボクの花でした。
上から蕊まできれいに見えることが少ないので、分かりにくいですね。