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[答598] 中央の平行四辺形

ヤドカリ

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[答598] 中央の平行四辺形


 面積が 1 の平行四辺形ABCDの辺AB,BC,CD,DA を 9:10:23 に分ける点を、図のように結んで、

 中央に平行四辺形(図の青の部分)を作るとき、この平行四辺形の面積は?


[解答1]

 中央の平行四辺形の辺に平行で、A,B,C,D を通る線分で平行四辺形PQRSを作り、

 左下図のように、点E,F,G,K,L,M,N を決めます。

 AE:EF:FG:GB=9:10:9:14 ,PL:LM:MQ:QB=9:10:9:14 となり、

 求める平行四辺形の面積は、(LM/PQ)2(平行四辺形PQRS)=(5/14)2(平行四辺形PQRS) です。

 また、AK/AD=QB/PB=14/(14+9+10+9)=1/3 だから

 KP=(1/3)DS=(1/3)QB=(1/9)PB となり、BP=(9/10)BK となり、

 △ABP=(9/10)△ABK=(9/10)(1/3)△ABD=(9/10)(1/3)(1/2)=3/20 、

 同様に、△BCQ=△CDR=△DAS=3/20 です。

 求める面積は、 (5/14)2(平行四辺形PQRS)=(5/14)2(1-4・3/20)=5/98 です。


[解答2]

 右下図のように点E,F,G,H,P,Q,R を決めます。

 △FRC∽△FEB より CF:BF=CR:BE=9:23 、23CF=9BF 、23CF=9(BC+CF) 、CF/BC=9/14 、

 GF/FC=(GC+CF)/FC=GC/FC+1=(GC/BC)/(CF/BC)+1=(23/42)/(9/14)+1=50/27 になります。

 同様に、DH/CD=9/14 になり、CH/CD=(CD+DH)/CD=1+DH/CD=1+9/14=23/14 、

 RH/CD=(CH-CR)/CD=CH/CD-CR/CD=23/14-9/42=10/7 、

 CR/RH=(CR/CD)/(RH/CD)=(9/42)/(10/7)=3/20 、

 HR/HC=(HR/CD)/(HC/CD)=(10/7)/(23/14)=20/23 、

 HD/HC=(HD/CD)/(HC/CD)=(9/14)/(23/14)=9/23 だから、

 △HPD/△HGC=(HD/HC)2=(9/23)2=81/529 です。 

 △HGCと直線EFでメネラウスの定理より、(HQ/QG)(50/27)(3/20)=1 、HQ/QG=18/5 、HQ/HG=18/23 、

 よって、△HQR/△HGC=(HR/HC)(HQ/HG)=(20/23)(18/23)=360/529 です。

 従って、(四角形PQRD)/△HGC=△HQR/△HGC-△HPD/△HGC=360/529-81/529=279/529 、

 ここで、CG/CB=23/42 ,CH/CD=23/14 だから、

 △CHG/△CDB=(CG/CB)(CH/CD)=(23/42)(23/14)=529/588 、

 △CHG=(529/588)△CDB=(529/588)(1/2)=529/1176 、

 四角形PQRD=(279/529)△CHG=(279/529)(529/1176)=93/392 です。

 中央の平行四辺形以外の単一の色で塗られた4つの四角形の面積はいずれも 93/392 だから、

 中央の平行四辺形の面積は 1-4・93/392=1-93/98=5/98 です。


[解答3]

 1次変換を行っても、線分の長さの比や面積比を変えないので、

 平行四辺形ABCDを1辺が 1 の正方形に変換して、中央にできる正方形の面積を求めます。

 xy平面上で A(0,1),B(0,0),C(1,0) とすれば、BC間の2点は (9/42,0),(19/42,0) で、

 AD間の点のAに近い方は,(23/42,1) になります。

 (9/42,0),(23/42,1) を通る直線は、

 傾きが 1/(23/42-9/42)=3 だから、y=3(x-9/42) 、3x-y-9/14=0 、

 この直線と(19/42,0)の距離は |3・19/42-0-9/14|/√(32+12)=(√10)/14 、

 これが、中央にできる正方形の1辺だから、 求める面積は 10/142=5/98 です。

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Comments 19

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

初めて見ます
マメ科の花に似たところが・・・
赤が鮮やかですね~
面白い形~
ナイス☆

ひとりしずか  
No title

アメリカデイゴというんですね
検索ですぐ出ました、よく知られているんですね~

花をサラダや煮物などに利用する。

夏の色ですネ

古い人  
No title

真っ赤な花が咲いてますね。

この時期彼方此方で咲いて来ましたね。
私も昨日撮って来ました。
ナイス。

ニリンソウ  
No title

アメリカデイゴさっちゃん子さんのブログで知りましたがこちらでは見れませんね
葉のような花のようなはブーゲンビリアと同じようですね
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。。
こちらでもたくさん咲いてましあtが・・散りました。
真っ赤なお花が次々咲いて美しいですよね。
南の国って感じ^^
ナイスです

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
1次変換は、少しズルな気がするも...それしか思いつかず...^^;
内部にできる平行四辺形にも1次変換を施して...
(LM)^2*(AB/BK)^2 みたいに出しちゃいました Orz~

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

これはアメリカテイゴでしようか

少し違うようには思いますが まっかで元気貰えますよね
こちらは 昨日夜から又 雨が降っています
今朝は曇天ですが~~ 青空恋しい毎日です

真っ赤で元気貰えて ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ほんと、ブーゲンビリアの様に見えて綺麗ですね(o^-^o)
ナイス!

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
アメリカデイゴが鮮やかですね
国道220号線にはズラリとアメリカデイゴとサンゴシドウが植樹されていますね
昔はコバナセンナが奇麗だった海岸線も今ではデイゴとブーゲンビリアが競い合って咲いていますよ

ナイス☆彡

たけちゃん  
No title

以下は,解答としてはあまりよいとは思いませんが,
図を描いてみるとちょっと面白かったので,提示しておきます.
(図なしで伝えるのが難しいですが...)

題意の平行四辺形の,内側の2組の平行線を,「道」とみなし,
元と合同な平行四辺形を,左右の道が繋がるように右に(同時にやや下に)ずらします.
この繰り返しで平行四辺形を4つ並べると,
4つ目の上辺は,はじめの下辺と同一直線上にあり,
道幅を10とするとき,4つ目の上下の道は,
1つ目の上下の道から10+23+42+42+23=140だけずれているので,
道幅は,隣りの道とのずれ(道幅も含む)の3/14倍です.

同様に,上下の道が繋がるように下に(同時にやや左に)ずらすことを繰り返すと,
左右の道の間隔も,隣りの道とのずれの3/14倍となり,
平行四辺形の繰り返しパターンを作ると,
青い平行四辺形は,平面全体の(3/14)^2の割合を占めます.

元の平行四辺形は,平面全体の9/10を占め,個数は1:1なので,
求める面積は,((3/14)^2)/(9/10)=5/98となります.

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今月になってアメリカデイゴの花をよく見るようになりました。
真っ赤な花がデイゴらしいです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
あちこちで、特に公園でよく見ます。
真っ赤なデイゴの花が鮮やかです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
此方ではあちこちで見ます。
赤い部分が肉厚で、実物を見るとブーゲンビルアとは感じが違います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花が落ちていると、羽根つきの羽根のようですね。
私も、南の国って感じがします。
調べて見ると、アメリカデイゴが鹿児島県の県木だそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
1次変換はズルイと言えばそうですね。
でも、答だけ出すにはいちばん紛れがない方法だと思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花はアメリカデイゴです。
ところで、此方は今日は夕方に少し降った程度です。
九州南部で雨が続いて腫れが恋しいかも知れませんが、
此方では梅雨前半の空梅雨の暑さから解放されています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
近づくと花の表面にツヤがあって、ブーゲンビリアとは少し受ける感じが違いますが、
沢山の花がつく様子は似ていますね。遠くから見ると分かりません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
言われてみると、学生時代までにはアメリカデイゴの記憶がありません。
たくさん植樹されているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、長文のコメントを有難う御座います。
教科書レベルの算数の問題に縦横に道のある花壇の面積を求める問題がありましたね。
私もそのような発想をしたのですが、斜めの道が交差すると、
その考え方が、却って面倒な気がしてそれ以上考えませんでした。
また、自分なりに解けたとしても、それを説明するのはもっと困難な気がしていました。
それを最後まで解かれた貴殿に敬意を表します。