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[答607] 三角形の周の長さの最小値

ヤドカリ

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[答607] 三角形の周の長さの最小値


 BC=5,CA=8,AB=7 の△ABCがあり、辺BC,CA,AB上に点D,E,Fをとって△DEFをつくるとき、

 EF+FD+DE の最小値は?


[解答1]

 下左図のように、△ABCの内角をα,β,γとし、ABに関してDと対称な点をR,ACに関してDと対称な点をQ、

 RB,QCの延長の交点をPとします。

 EF+FD+DE=EF+FR+QE=QE+EF+FR だから、

 これが最小になるのは、Q,E,F,Rが一直線上に並ぶときで、その長さは QR です。

 次に、△PBCにおいて、∠PBC=π-2β,∠PCB=π-2γ だから、∠P=π-2α になります。

 正弦定理により、PB/sin(π-2γ)=PC/sin(π-2β)=BC/sin(π-2α) だから、

 PB=BCsin2γ/sin2α,PC=BCsin2β/sin2α です。

 よって、

 PQ+PR=PC+CQ+PB+BR=PC+CD+PB+BD=PB+PC+BC

  =BCsin2γ/sin2α+BCsin2β/sin2α+BC

  =BC(sin2α+sin2β+sin2γ)/sin2α=BC{2sinαcosα+2sin(β+γ)cos(β-γ)}/sin2α

  =2BC{-sinαcos(β+γ)+sinαcos(β-γ)}/(2sinαcosα)

  =BC{-cos(β+γ)+cos(β-γ)}/cosα=2BCsinβsinγ/cosα となって一定です。

 △PQRに余弦定理を適用し、

 QR2=PQ2+PR2-2・PQ・PRcos(π-2α)

  =(PQ+PR)2-2・PQ・PR(1-cos2α)=(PQ+PR)2-4・PQ・PRsin2α

 相加・相乗平均の関係により、√(PQ・PR)≦(PQ+PR)/2 、4・PQ・PR≦(PQ+PR)2 だから、

 QR2≧(PQ+PR)2-(PQ+PR)2sin2α=(PQ+PR)2cos2α

 QR≧(PQ+PR)cosα=2BCsinβsinγ になり、最小値は、2BCsinβsinγ です。

 このままでも計算できますが、もう少し一般化しておきます。

 △ABCの面積をS,外接円の半径をR とすれば、sinβ=CA/2R だから、

 2BCsinβsinγ=2BC(CA/2R)sinγ=(BC・CAsinγ)/R=2S/R になります。

 また、△ABCの3辺をa,b,cとすれば、4RS=abc 、2S/R=8S2/(4RS)=8S2/(abc) です。

 本問では、

 cosγ=(52+82-72)/(2・5・8)=1/2,sinγ=(√3)/2 です。

 S=(1/2)5・8sinγ=10√3,R=7/(2sinγ)=7/√3 だから、2S/R=60/7 です。

☆ 相加・相乗平均の関係で等号が成り立つのは、PQ=PR=BCsinβsinγ/cosα のときです。

 このとき、以下の式変形で、BD=ABcosβ となって、AD⊥BC です。

 BD=BR=PR-PB=BCsinβsinγ/cosα-BCsin2γ/sin2α

  =BCsinβsinγ/cosα-BCsinγcosγ/(sinαcosα)=BCsinγ(sinαsinβ-cosγ)/(sinαcosα)

  =BCsinγ{sinαsinβ+cos(α+β)}/(sinαcosα)=BCsinγ(cosαcosβ)/(sinαcosα)

  =(BC/sinα)sinγcosβ=(AB/sinγ)sinγcosβ=ABcosβ

 同様の理由で、EF+FD+DE が最小になるのは、AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB のときです。


[解答2]

 下右図のように、ABに関してDと対称な点をR,ACに関してDと対称な点をQ とします。

 EF+FD+DE=EF+FR+QE=QE+EF+FR だから、

 これが最小になるのは、Q,E,F,Rが一直線上に並ぶときで、その長さは QR です。

 また、AR=AQ=AD であり、∠RAQ=2∠BAC は一定だから、ADが最短のとき、QRも最短になります。

 よって、AD⊥BC のとき、QRが最短になり、QR=2・ARsin(∠RAQ/2)=2・ADsin∠BAC です。

 ここで、△ABCの面積をS とすれば、BC・AD=2S ,AB・ACsin∠BAC=2S ですので、

 AD=2S/BC ,sin∠BAC=2S/(AB・AC) となって、△ABCの3辺をa,b,cとすれば、

 QR=2・ADsin∠BAC=2(2S/BC)・2S/(AB・AC)=8S2/(abc) です。

 本問では、(5+8+7)/2=10、ヘロンの公式で S2=10(10-5)(10-8)(10-7)=300、

 QR=8・300/(5・8・7)=60/7 です。

☆ Q,E,F,Rが一直線上に並ぶとき、∠ADC=90゚ かつ AC⊥DQ だから、∠DAC=∠CDQ になり、

 中心がAで半径がADの円の中心角と円周角の関係により、∠RAD/2=∠RQD 、∠BAD=∠EDQ です。

 よって、∠BAD+∠DAC=∠EDQ+∠CDQ 、∠BAC=∠EDC となって、

 四角形ABDEは円に内接し、∠AEB=∠ADB=90゚ 、BE⊥AC です。

 同様に、CF⊥AB で、EF+FD+DE が最小になるのは、AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB のときです。


☆ 鋭角三角形の頂点から対辺におろした垂線の足3つを頂点とする三角形を「垂足三角形」といいます。

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Comments 14

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
青空に映えて 白いお花が綺麗ですね(o^-^o)
ナイス!

古い人  
No title

青空と白い雲に白い夾竹桃綺麗ですね。

お見事です。
ナイス。

樹☆  
No title

わぁ~
きれ~~い。。今日は純白ですね。
青空に吸い込まれそうに美しい姿です。
この写真このまま水彩画にしたい気分♬
ナイスです

ニリンソウ  
No title

爽やかな夏空ですね!
夾竹桃の白もいいもんですね、暑さに負けずに
お過ごしください

ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

白の キョチクトウ 青空に 似合いますね ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

素晴しい青空に真っ白の夾竹桃の花
白い雲とのバランスも最高ですね

見ているだけで涼しさを感じますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
青空をバックにした白い夾竹桃は、写真に撮ってみると綺麗でした。
夏の空によく似合う花です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
空と雲だけでも絵になるのですが、
雲と同じ色の夾竹桃も綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
水彩画ですか。
私には絵心がありませんが、描くだけの能力があれば描きたいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
貴女の好きな青い空です。
白の夾竹桃が引き立ちました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
散歩をしているとこのような光景にも出会います。
ラッキーでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
白と青のコントラストはいいですね。
此方では海と波のコントラストが見られないのが残念です。

tsuyoshik1942  
No title

「垂足三角形」初めて聞きます。

間違った論理で答がこの三角形になると考え、計算し、出てきた答が問題番号に絡んだので、そのまま解答送信しました。
やどかりさんの指摘で間違いに気づき、加えて「一般解」の言葉があったので再考したのですが、頓挫しました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
三角形には私が知らない沢山の性質があります。
問題に出来るものが見つかったら、また出題したいと思います。