[答607] 三角形の周の長さの最小値

[答607] 三角形の周の長さの最小値


　BC＝5，CA＝8，AB＝7 の△ABCがあり、辺BC，CA，AB上に点D，E，Fをとって△DEFをつくるとき、

　EF＋FD＋DE の最小値は？


[解答1]

　下左図のように、△ABCの内角をα，β，γとし、ABに関してDと対称な点をR，ACに関してDと対称な点をQ、

　RB，QCの延長の交点をPとします。

　EF＋FD＋DE＝EF＋FR＋QE＝QE＋EF＋FR だから、

　これが最小になるのは、Q，E，F，Rが一直線上に並ぶときで、その長さは QR です。

　次に、△PBCにおいて、∠PBC＝π－2β，∠PCB＝π－2γ だから、∠P＝π－2α になります。

　正弦定理により、PB/sin(π－2γ)＝PC/sin(π－2β)＝BC/sin(π－2α) だから、

　PB＝BCsin2γ/sin2α，PC＝BCsin2β/sin2α です。

　よって、

　PQ＋PR＝PC＋CQ＋PB＋BR＝PC＋CD＋PB＋BD＝PB＋PC＋BC

　 ＝BCsin2γ/sin2α＋BCsin2β/sin2α＋BC

　 ＝BC(sin2α＋sin2β＋sin2γ)/sin2α＝BC{2sinαcosα＋2sin(β＋γ)cos(β－γ)}/sin2α

　 ＝2BC{－sinαcos(β＋γ)＋sinαcos(β－γ)}/(2sinαcosα)

　 ＝BC{－cos(β＋γ)＋cos(β－γ)}/cosα＝2BCsinβsinγ/cosα となって一定です。

　△PQRに余弦定理を適用し、

　QR²＝PQ²＋PR²－2･PQ･PRcos(π－2α)

　 ＝(PQ＋PR)²－2･PQ･PR(1－cos2α)＝(PQ＋PR)²－4･PQ･PRsin²α

　相加･相乗平均の関係により、√(PQ･PR)≦(PQ＋PR)/2 、4･PQ･PR≦(PQ＋PR)² だから、

　QR²≧(PQ＋PR)²－(PQ＋PR)²sin²α＝(PQ＋PR)²cos²α

　QR≧(PQ＋PR)cosα＝2BCsinβsinγ になり、最小値は、2BCsinβsinγ です。

　このままでも計算できますが、もう少し一般化しておきます。

　△ABCの面積をS，外接円の半径をR とすれば、sinβ＝CA/2R だから、

　2BCsinβsinγ＝2BC(CA/2R)sinγ＝(BC･CAsinγ)/R＝2S/R になります。

　また、△ABCの３辺をa，b，cとすれば、4RS＝abc 、2S/R＝8S²/(4RS)＝8S²/(abc) です。

　本問では、

　cosγ＝(5²＋8²－7²)/(2･5･8)＝1/2，sinγ＝(√3)/2 です。

　S＝(1/2)5･8sinγ＝10√3，R＝7/(2sinγ)＝7/√3 だから、2S/R＝60/7 です。

☆ 相加･相乗平均の関係で等号が成り立つのは、PQ＝PR＝BCsinβsinγ/cosα のときです。

　このとき、以下の式変形で、BD＝ABcosβ となって、AD⊥BC です。

　BD＝BR＝PR－PB＝BCsinβsinγ/cosα－BCsin2γ/sin2α

　 ＝BCsinβsinγ/cosα－BCsinγcosγ/(sinαcosα)＝BCsinγ(sinαsinβ－cosγ)/(sinαcosα)

　 ＝BCsinγ{sinαsinβ＋cos(α＋β)}/(sinαcosα)＝BCsinγ(cosαcosβ)/(sinαcosα)

　 ＝(BC/sinα)sinγcosβ＝(AB/sinγ)sinγcosβ＝ABcosβ

　同様の理由で、EF＋FD＋DE が最小になるのは、AD⊥BC，BE⊥CA，CF⊥AB のときです。


[解答2]

　下右図のように、ABに関してDと対称な点をR，ACに関してDと対称な点をQ とします。

　EF＋FD＋DE＝EF＋FR＋QE＝QE＋EF＋FR だから、

　これが最小になるのは、Q，E，F，Rが一直線上に並ぶときで、その長さは QR です。

　また、AR＝AQ＝AD であり、∠RAQ＝2∠BAC は一定だから、ADが最短のとき、QRも最短になります。

　よって、AD⊥BC のとき、QRが最短になり、QR＝2･ARsin(∠RAQ/2)＝2･ADsin∠BAC です。

　ここで、△ABCの面積をS とすれば、BC･AD＝2S ，AB･ACsin∠BAC＝2S ですので、

　AD＝2S/BC ，sin∠BAC＝2S/(AB･AC) となって、△ABCの３辺をa，b，cとすれば、

　QR＝2･ADsin∠BAC＝2(2S/BC)･2S/(AB･AC)＝8S²/(abc) です。

　本問では、(5＋8＋7)/2＝10、ヘロンの公式で S²＝10(10－5)(10－8)(10－7)＝300、

　QR＝8･300/(5･8･7)＝60/7 です。

☆ Q，E，F，Rが一直線上に並ぶとき、∠ADC＝90ﾟ かつ AC⊥DQ だから、∠DAC＝∠CDQ になり、

　中心がAで半径がADの円の中心角と円周角の関係により、∠RAD/2＝∠RQD 、∠BAD＝∠EDQ です。

　よって、∠BAD＋∠DAC＝∠EDQ＋∠CDQ 、∠BAC＝∠EDC となって、

　四角形ABDEは円に内接し、∠AEB＝∠ADB＝90ﾟ 、BE⊥AC です。

　同様に、CF⊥AB で、EF＋FD＋DE が最小になるのは、AD⊥BC，BE⊥CA，CF⊥AB のときです。


☆ 鋭角三角形の頂点から対辺におろした垂線の足３つを頂点とする三角形を「垂足三角形」といいます。

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