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[答608] 3次方程式と式の値

ヤドカリ

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[答608] 3次方程式と式の値


 x3-3x2+8x-4=0 の解をα,β,γとするとき、 (β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=?


[解答1] 計算は面倒ですが

 f(x)=x3-3x2+8x-4 とおくと

 f(x)-f(α)=(x-α){x2-(3-α)x+(α2-3α+8)} ですので、

 (x-β)(x-γ)=x2-(3-α)x+(α2-3α+8) 、

 β+γ=3-α ,βγ=α2-3α+8 になります。

 (α-β)(α-γ)=α2-(3-α)α+(α2-3α+8)=3α2-6α+8 、

 (α-β)2(α-γ)2=(3α2-6α+8)2

  =(α3-3α2+8α-4)(9α-9)-15α2+12α+28=-15α2+12α+28 、

 (β-γ)2=(β+γ)2-4βγ=(3-α)2-4(α2-3α+8)=-3α2+6α-23 、

 (β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=(-15α2+12α+28)(-3α2+6α-23)

  =(α3-3α2+8α-4)(45α+9)-608=-608 です。


[解答2]

 f(x)=x3-3x2+8x-4 とおくと f'(x)=3x2-6x+8 です。

 f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ) と因数分解されるので、

 f'(x)=(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β) となり、

 f'(α)=(α-β)(α-γ) ,f'(β)=(β-α)(β-γ) ,f'(γ)=(γ-α)(γ-β) 、

 (β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=-f'(α)f'(β)f'(γ) です。

 3f(x)=(x-1)f'(x)+10x-4 になるから、(1-x)f'(x)+3f(x)=-10(2/5-x) 、

 x=α,β,γ を代入し、f(α)=f(β)=f(γ)=0 に注意して乗じると、

 (1-α)(1-β)(1-γ)f'(α)f'(β)f'(γ)=-1000(2/5-α)(2/5-β)(2/5-γ) 、

 -f(1)(β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=-1000f(2/5) 、

 -2(β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=-1000(-152/125) 、

 (β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=-608 になります。

☆ たけちゃんさんのコメントより

 f'(x)=3(x-A)(x-B) とおけば、

 (β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=-f'(α)f'(β)f'(γ)

  =-27(α-A)(α-B)(β-A)(β-B)(γ-A)(γ-B)

  =-27(A-α)(A-β)(A-γ)(B-α)(B-β)(B-γ)

  =-27f(A)f(B)=-3{3f(A)}{3f(B)}=-3{-10(2/5-A)}{-10(2/5-B)}

  =-100・3(2/5-A)(2/5-B)=-100f'(2/5)=-100・152/25=-608 です。


[解答3]

 x3-3x2+8x-4=0 より (x-1)3+5(x-1)+2=0 だから、x=α を代入して、(α-1)3+5(α-1)+2=0 、

 α-1=a とおけば、a3+5a+2=0 になり、a は x3+5x+2=0 の解です。

 同様に β-1=b ,γ-1=c とおけば、b,c も x3+5x+2=0 の解です。

 従って、解と係数の関係により、a+b+c=0 ,bc+ca+ab=5 ,abc=-2 になり、

 x3+5x+2=(x-a)(x-b)(x-c) と因数分解され、

 微分すると、 3x2+5=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b) です。

 よって、3a2+5=(a-b)(a-c) ,3b2+5=(b-a)(b-c) ,3c2+5=(c-a)(c-b) 、

 -(b-c)2(c-a)2(a-b)2=(3a2+5)(3b2+5)(3c2+5)

  =27(abc)2+45{(bc)2+(ca)2+(ab)2}+75(a2+b2+c2)+125

  =27(abc)2+45{(bc+ca+ab)2-2abc(a+b+c)}+75{(a+b+c)2-2(bc+ca+ab)}+125

  =27(-2)2+45{52-2・(-2)・0}+75(02-2・5)+125=108+1125-750+125=608 、

 (β-γ)2(γ-α)2(α-β)2=(b-c)2(c-a)2(a-b)2=-608 です。

☆ a3+5a=-2 を2乗して、a6+10a4+25a2=4 、

 g(x)=x3+10x2+25x-4 とおけば、 x=a2 は g(x)=0 の解になります。

 同様に、x=b2,c2 も g(x)=0 の解になるから、

 g(x)=(x-a2)(x-b2)(x-c2) と因数分解されます。

 (b-c)2(c-a)2(a-b)2=-(3a2+5)(3b2+5)(3c2+5)

  =(-5-3a2)(-5-3b2)(-5-3c2)=27(-5/3-a2)(-5/3-b2)(-5/3-c2)

  =27g(-5/3)=27(-608/27)=-608 です。


[参考]

 (β-γ)2(γ-α)2(α-β)2 が 3次方程式の判別式です。

 重解をもてば 判別式が 0 になり、異なる3つの実数解をもてば 判別式が 正の数になり、

 実数解1つと共役な虚数解をもてば 判別式が 負の数になることは簡単に確かめられます。

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Comments 18

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古い人  
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今日は純白の桔梗の花見事ですね。

此の頃白花も彼方此方で見られる様に成りましたね。
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
桔梗の花ことば・・変わらない。。
なんだか何ものにも染まらない・・そんな
雰囲気を感じます。高貴な色と。。ナイスです

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

キキヨウ ブールが 好きですが

白 清楚で 良いですね ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
白いキキョウ、きれいですね(o^-^o)
ナイス!

ニリンソウ  
No title

白いキキョウが鮮明に撮れましたね。
まだ梅雨明けしていない新潟の空
今日も暗いのです

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
どれも惚れ惚れする解法ね☆
対称式を使えば出せるはずと取り組むものの余りのややこしさに give up...^^;

> (β-γ)^2(γ-α)^2(α-β)^2=-f'(α)f'(β)f'(γ)

微分を使って得られるこんな美しい式は初めて知りました☆
判別式の意味もわかったし...勉強になりました~m(_ _)m~♪

さっちゃんこ  
No title

真っ白のキキョウいいですネ
紫のキキョウに比べ栽培も難しいのでしょうか
白とピンクのキキョウ育てていましたがいつの間にか見当たらなくなっています

ナイス☆彡

tsuyoshik1942  
No title

参考を含めて、解答のいずれも消化不良です。ゆっくり何度か読ませていただきます。

自分は、いくつかの例、例えば、
(x-1)x(x+1)=0、(x-2)x(x+2)=0、x(x-1)(x-2)=0、(x-1)(x-2)(x-3)=0等々の場合の、
(a-b)2(b-c)2(c-a)2の値から、f(a+b+c,ab+bc+ca,abc)を推定しました。他人には言えない大変な作業でした。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
たまに見かけますが、薄紫とは違った感じがします。
多くなってきたのは品種改良ですか?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
「何物にも染まらない」ですか?
キキョウにはできても人間には難しいでしょうね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
キキョウはやはり薄紫が見なれていますのでシックリきますね。
でも、多くの種類の花に白があるのは不思議です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
どの種類の花も白いのは清々しく感じます。
私もきれいだと感じてカメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
新潟も東北もなかなか梅雨明けしないようですね。
此方は、予報では、今週は梅雨の戻りのような天気だそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
対称式を使うのが、第一感だと思いますが、
[解答1]のように1つの文字で表すのも1つの方法です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
そうですね、ピンクのキキョウも見たことがありますが、
最近はお目にかかっていません。
やはり薄紫色が自然ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
苦労された様子がよく分かるコメントです。
いくつかの例から導き出すのは、貴殿の得意技ですね。
私には真似できません。

ひとりしずか  
No title

白い桔梗蕾は見ましたが・・
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
白いキキョウは爽やかな感じがします。