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[答609] 4点を結んでできる正方形

ヤドカリ

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[答609] 4点を結んでできる正方形


 図は 99個の点を 1cm間隔に長方形状に並べたもので、このうちの4点を頂点とする 25cm2

 正方形は全部で 40個できます。

 では、25cm2 の正方形がちょうど 1000個できるとき、1cm間隔に長方形状に並べる点の数は?

 最少の場合と最多の場合の点の個数を求めて下さい。


[解答]

 縦に並べる点の個数を m,横に並べる点の個数を n (m≦n)とします。

 7≦m≦n の場合、全体の長方形に平行な辺をもつ、

 1辺が 5cm の正方形を作る場合の右上の点を赤で示せば、個数は (m-5)(n-5)個で、

 1辺が 7cm の正方形を作る場合の右上の点を青で示せば、個数は (m-7)(n-7)個です。

 1辺が 7cm の正方形の中に1辺が 5cm の斜めの正方形は2個できるから、

 1辺が 5cm の正方形の個数は全部で、

 (m-5)(n-5)+2(m-7)(n-7)=3mn-19m-19n+123={(3m-19)(3n-19)+8}/3 になります。

  ( 上の図の例では m=9,n=11 で、{(3・9-19)(3・11-19)+8}/3=40 です )

 {(3m-19)(3n-19)+8}/3=1000 だから、(3m-19)(3n-19)=2992 です。

 2≦3m-19≦3n-19,3m-19≡2,3n-19≡2 (mod 3) で、2992=24・11・17 だから、

 (3m-19,3n-19)=(2,1496),(8,374),(11,272),(17,176),(44,68) になり、

 (m,n)=(7,505),(9,131),(10,97),(12,65),(21,29) だから、

 mn=3535,1179,970,780,609 です。

 6=m≦n の場合、全体の長方形に平行な辺をもつ、1辺が 5cm の正方形しかなく、

 個数は (6-5)(n-5)=1000 、n=1005 だから、mn=6030 です。

 m≦5 の場合、1辺が 5cm の正方形はできません。

 従って、点の個数 mn=3535,1179,970,780,609,6030 となって、

 最少の場合 609個,最多の場合 6030個です。

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Comments 20

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ニリンソウ  
No title

キキョウの八重、やっぱり一重が好きです!
と言ってるうちにキキョウの花期も終盤でしょうね

まだ梅雨明けしないんです
暑くてもいいから青空が見たくなりました
ナイス

tsuyoshik1942  
No title

最多の場合の点の数、6*1005=6030はすぐに閃きました。
そこで、直ちに、609,6030の解答を送信しました。
その後、609=21*29→(21-7)(29-7)*2+(21-5)(29-5)=1000を確認しました。
なお、「正方形が1000個できる時」を1000個以上も可と考え、点の数が24*25=600個のとき、どうなのか気になったのですが、自分の感覚より少なく正方形は992個しかありませんでした。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは...今までにも出て来たカウントしなきゃならないものと思えたもので...やや敬遠気味で眺めてましたが...^^;
元気出して考えてみると同じ式で表せることに気付け ^^
そこからは一気呵成だったのですが...いかんせん、最多の場合は一番非効率である場合であることをそのときにはすっかり忘れてしまってて一発では正解できませんでした...m^2 がk種類で表現できたら...もっとややこしいことになるんでしょうねぇ...が...ピタゴラス数は一意にしか表せないのかなぁ...?...Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

キキョウですね。
これは八重のキキョウなのでしょうか?
当地ではまだ咲いたのを見ていないです。
色も花も好きです。
ナイス☆

たけちゃん  
No title

tsuyoshik1942さんの言われる「正方形がN個『以上』できる」という解釈には
思い至りませんでした.直前に「○○のときは全部で40個」が例示された問題文
なので,問題のキズにはならないと思いますが,面白い問題提起と思います.

正方形がN個(ただし,N≧4とします)以上できるような点の個数の最小値は,
3xy-19x-19y+123≧N…[*](x,yは7以上の整数)の条件下での xy の最小値ですね.
[*]を満たす第1象限の格子点(x,y)でxyが最小のものは,x+yも最小になるので,
まず,x+yを最小にすることを考えます.
[*]は,(x-19/3)(y-19/3)≧(3N-8)/9と変形され,
√((x-19/3)(y-19/3))≦(x+y-38/3)/2なので,x+y≧38/3+(2√(3N-8))/3.
この範囲の最小の整数x+yをkとして,
できるだけ離れた[*]を満たすx,yを探せば,それがxyの最小値を与えます.

たけちゃん  
No title

N=1000のときは,x+y≧38/3+(2√2992)/3=49.13…となり,
x+y=50として,[*]は3xy≧1000+19・50-123=1827であり,
xy≧609,(x+y)^2-(x-y)^2≧2436,(x-y)^2≦50^2-2436=64から,
{x,y}={25+4,25-4}を得ます.

なお,解答に「mn=1179,970,780,609 です。」の削除忘れがあるようです.

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
八重咲きのキキョウ 奇麗ですネ
青紫の此の色大好きな色です

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
キキョウはシンプルな形の方が見映えがすると思いますが、
珍しいので載せました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
このキキョウは、5弁の花弁が2重になったような形でした。
こんなキキョウもあるのだと感心しました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
多くの花弁の花に対して、好みもあると思いますが、
花弁の形が整っていたので載せました。
それを、「好い事ありそうな」と書かれると嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
キキョウは1重のほうがしっくりくると思いますが、
珍しいのを見たので載せました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
「正方形が1000個できる時」を1000個以上も可との考えには及びませんでした。
確認してみると、仰る通りでしたが、誤解のないように、問題文を少し変えました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
25²=7²+24²=15²+20² の例がありますね。
ただ、問題として、そんなに複雑にする必要はないでしょう。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
キキョウらしくないので、シックリこないのですが、珍しいので載せました。
花について、知らないことも多いのですが、キキョウにしか見えませんでした。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントと削除忘れの指摘を有難う御座います。
貴殿のコメントの内容は、
解答では(3m-19,3n-19)と(m,n)を全て示すことによって、
感覚的に分かるようにしましたが、
貴殿のように論理的に示す方が良かったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
キキョウのこの紫色は高貴な感じがします。
こんな形のものもあって、面白いです。

樹☆  
No title

八重のききょう。。きちんと重ならず
きれいに咲いてますね。。
珍しいものを見せて頂きました^^ありがとう。
ナイスです

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
八重のキキョウは珍しいのですが、一重の方が形はいいと思います。
このキキョウは端正な形をしていましたので撮りました。

ひとりしずか  
No title

八重の桔梗沢山咲いている畑があって~
毎日の雨で弱ってきていました
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私はあまり見たことがありません。
たくさん咲いていると見事でしょうね。