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[答610] 緑の六角形の個数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答610] 緑の六角形の個数


 図は、正六角形を正三角形状に並べたもので、まず、一番上の正六角形に緑色を塗り、

 緑色の正六角形が隣り合わないように、また、なるべく沢山の正六角形が緑色になるように、

 上から順に緑色を塗ったものです。

 これを上から 60段まで塗れば、塗る正六角形の個数は?

 上から3段に限定すれば、3個塗ることができますが、この場合、4段目に塗れなくなり、

 全体として少なくなりますので、図のように塗るものとします。


[解答1]

 下左図のように、

 上からn段目に塗る正六角形の数は、上から(n-3)段目に塗る正六角形の数より1個多いので、

 (1+2+……+20)+(0+1+……+19)+(1+2+……+20)=210+190+210=610 個です。

☆ 上からn段まで塗ったときの、塗る正六角形の数を an 個とすれば、

 a3k=(1+2+……+20)+{0+1+……+(k-1)}+(1+2+……+20)

  =k(k+1)/2+(k-1)k/2+k(k+1)/2=(3k2+k)/2 、

 a3k-1=a3k-k=(3k2-k)/2 、

 a3k+1=a3k+(k+1)=(3k2+3k+2)/2 です。


[解答2]

 上からn段まで塗ったときの、塗る正六角形の数を an 個とします。

 下右図のように、3段ずつ分けて考えると、

 上から 3k-1 段目は塗る正六角形は k-1 個,3k 段目は塗る正六角形は k 個,

 3k+1 段目は塗る正六角形は k+1 個 だから、

 3k-1 段目 から 3k+1 段目に塗る正六角形は 3k 個です。

 よって、

 a3k+1=1+3(1+2+……+k)=1+3k(k+1)/2 、 a3k=a3k+1-(k+1)=1+3k(k+1)/2-k-1=(3k2+k)/2 、

 a3k-1=a3k-k=(3k2+k)/2-k=(3k2-k)/2 となります。

 a60=a3・20=(3・202+20)/2=610 です。


[参考]

 n=3k+1 のとき、 an=a3k+1=1+3k(k+1)/2=1+3k(3k+3)/6=1+(n-1)(n+2)/6=(n2+n+4)/6 、

  この式は n=1 すなわち k=0 のときも成り立ちます。

 n=3k のとき、 an=a3k=(3k2+k)/2=(9k2+3k)/6=(n2+n)/6 、

 n=3k-1 のとき、 an=a3k-1=(3k2-k)/2=(9k2-3k)/6={(n+1)2-(n+1)}/6=(n2+n)/6 、

 いずれの場合も、ガウス記号を使って、 an=[(n2+n+4)/6] になります。

 a60=[(602+60+4)/6]=[3664/6]=610 です。

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Comments 16

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古い人  
No title

今日の花は色違いですか。???

此の色も有るんですね私は初めてです。
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
面白い・・こんな色が違うだけで別のお花。
お口から舌がでてるよう^m^
初めて観ました。ナイスです

ニリンソウ  
No title

そうそう違う花のように見えますね
やどかりさんの視点も面白い!

ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます

この花名前判らないです

こちらで言う ベロベロネですかね
花の名前 分らないのが多いです (笑) ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
わたしは...縦の列の個数を数えました...but...すったもんだでしたが...
いま考えてみると...

60-3k ...
kが偶数のときその半分
kが奇数のとき60-3k+1 の半分
k=1~19
Σ(60-3k)/2=30*(18/2)-3*(2+4+...+18)/2=270-3*45=135
Σ(60-(3k-1))/2=61*(9+1)/2-3*(1+3+...+19)/2=305-3*10*20/4=155
2*(135+155)+60/2=580+30=610
とすればよかったのね...^^;...Orz~

tsuyoshik1942  
No title

数えました。自分は以下のように数えました。
1+{0+1+2}+{1+2+3}+{2+3+4}...{18+19+20}+{19+20+21}-21=20*(3+60)/2+1-21=610

リコメの中に「ガウス記号」なる語句を見、何事かと思い、少し頭をひねったのですが、[参考」には思い至りませんでした。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、色違いです。
私は赤と白以外に、ピンクや紫も見たことがありますが、今年は出会えていません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
色違いでこれだけ感じが変わるのですね。
明日も同じ花の予定ですが、去年まで見たことがないものです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
若い頃はこの色を見たことがなかったのですが、
この頃は割に見るようになりました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難う御座います。
この花は白のサルビアですが、ベロベロネにも部分的に似ています。
同じ種類の違った花や違う種類の似た花は名前が難しいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
縦・横・斜めなどいろいろ考えられますが、
やはり、横の並び(行)で考えるのが楽だと思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
[参考]はそれぞれの場合に対して、kの式 → nの式 に書き直し、比較しただけのもので、
ガウス記号を使わずにきれいに書けたらもっと良かったのですが、
そうはいきませんでした。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
本当に、この色は初めてです!!
ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
色が違うだけで、ずいぶん雰囲気が変わるものですね。

ひとりしずか  
No title

これもサルビアなんですね~
白とクリーム色のようですが・・
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
実物を見るとほとんど白でした。
苞より花の部分の白が目立ちました。