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[答612] 円外にできる交点の数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答612] 円外にできる交点の数


 図は、円周上に5個の点があり、このうちの2点を通る直線 10本をすべて引いて、

 円外に交点が 10個できていることを示しています。

 では、円周上に 18個の点があるとき、このうちの2点を通る直線 153本をすべて引いてできる、

 円外の交点は最大何個?

 153本の直線のどの2本も平行でなく、どの3本も円周以外の1点で交わらないとき最大です。


[解答]

 右の図のように、円周上の4点に着目すると、外部に2個の点ができます。

 従って、184・2=3060・2=6120 個です。


[参考]

 円周上の4点に着目すると、内部には1個の点ができますので、184=3060 個です。

 また、円周上の 18個の点については、1点に着目すれば他の 17個の点と結ぶ直線17本との交点で、

 172=136 個の点の重なりだと考えれば、136・18=2448 個分で、

 6120+3060+2448=11628 は、 1532=11628 と一致します。

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

きれいな問題ですね!

最初、「>直線153本」にも誘導され、交点の総数153*152/2=11628を求め、以下、[参考」と同じ手順で答を得ました。
この時、これを一般化し 「n*(n-1)(n-2)(n-3)/12」を得、いかにも何かを示唆しているように感じ、再考したのですが進まず、ここで解答送信しました。
ところが、リコメを拝見すると、明らかにもっと簡明な解法があることを示してました。何度か試行した後、「四角形の対辺同士を延長すると交点が必ず2個できる」ことに、ようやく思い当たりました。

自分で、かぼちゃ、きゅーり、なす、へちま等々育てているのですが、花の特定は??です。

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

お野菜の花 黄色がおいですよね

元気な 黄色で 今日の暑さを乗り切ります

こちらは 毎日35度越え 少し疲れムードです ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

かぼちゃとかメロンとかキュウリとかのお花かしら・・・
黄色くて大きくてパワーをもらえそうです。
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
見たことのある花なのに思い出せません
カボチャやキューリなどとは違いますね

野菜でなくても花だけで充分楽しめますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花はヘチマです。
もとは、糸瓜(イトウリ)と呼ばれたのですが、
「ト」が強く聞こえるので、
「イロハニホヘトチリヌルヲ」の
「ヘ」「チ」の間で、
ヘチマになったそうです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
上に書きましたように糸瓜の花です。
黄色の花に元気を貰えました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
野菜の花だとすぐ分かりますが、特定は難しいですね。
特に写真では大きさが分からないので尚更です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
黄色の多い野菜の花、特定は難しいですね。
明るい感じで咲いていました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
気づけば簡単な問題でした。
対角線の交点の数はよく知られているので、外側にしました。
ところで、趣味と実益を兼ねて育てておられるのでしょうか。
花の特定は難しいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
黄色の花が元気に咲いていました。
ろころで、此方でも連日湿度が高い上に30℃を超す猛暑、バテ気味です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
上に書きましたように、ヘチマの花です。
大きな黄色の花からは元気を貰えます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
上に書きましたように、ヘチマの花です。
野菜は花はあまり注目されませんが、いい花を咲かせます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[参考]の考え方は面白いですね☆
つまり...10本の直線で10+5=15個の交点ができる場合は...
必然的に、5個が円周上にあるときと決まる(一意)ってわけになるのかな...^^...?...Orz~

樹☆  
No title

こんばんは
わたしも胡瓜かと^^

小さくて黄色い花が見頃になってきます^^
大阪は暑いでしょうね。。ナイスです

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
1通りの解き方だけではどうも自信がありません。
[参考]のように考えて、検算していることになります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
写真では分かりにくいですが、胡瓜よりかなり大きな花です。
此方は……仰る通り、かなり暑いです。

たけちゃん  
No title

私は[解答]と同じでしたが,確認の別計算としては,
隣接2頂点を結ぶ直線18本→外で交わる直線は16C2本
1つとばしの2頂点を結ぶ直線18本→15C2
2つとばしの2頂点を結ぶ直線18本→14C2+2C2本

7つとばしの2頂点を結ぶ直線18本→9C2+7C2本,
8つとばしの2頂点を結ぶ直線9本→8C2+8C2本
合計18(2C2+3C2+4C2+…+15C2+16C2)=18(17C3).
交点を2回ずつ数えたので,交点数は,
18(17C3)/2=(18・17・16・15)/12
としました.

実は,「最大」でなく「最小」に頭を悩ませています.
正18角形の18頂点のときのような気がするのですが,確証はありません.

ひとりしずか  
No title

わぁ~目の前がいっぺんに明るく~!
ヘチマですか・・
夕顔とか似てますネ
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
確かに最少は難しいですね。
私も対称性から正18角形の18頂点のときのような気がしますが、
断定出来ません。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ヘチマの花は黄色である程度の大きさがあり、雰囲気が明るくなります。