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[答613] 正十二面体の体積

ヤドカリ

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[答613] 正十二面体の体積


 図のように正十二面体は屋根形の五面体6個を切り取ると立方体ができます。

 では、1辺が2の正十二面体の体積は?


[解答1]

 まず、1辺が2の正五角形の対角線(立方体の1辺)をxとすると、

 2:x=(x-2):2 、x2-2x-4=0 、x=1+√5 になります。

 次に、屋根形1個の体積ですが、三角柱と四角錐に分けて考えます。

 四角錐の底面の長方形の対角線の長さをyとすると、

 y2=x2+(x-2)2=2(x2-2x-4)+12=12 だから、

 四角錐の高さは、√{22-(y/2)2}=√(4-3)=1 です。

 従って、四角錐の体積は、x(x-2)・1/3=x(x-2)/3 になります。

 三角柱は、底面の三角形の底辺がxで高さが1だから、

 三角柱の体積は、(x・1/2)・2=x です。

 よって、屋根形6個の体積は、6{x(x-2)/3+x}=2x2+2x 、

 正十二面体の体積は、

 x3+2x2+2x=(x2-2x-4)(x+4)+14x+16

  =14(1+√5)+16=30+14√5 になります。


[解答2]

 まず、1辺が2の正五角形の対角線(立方体の1辺)は 2・2cos36゚ になり、

 正十二面体の外接球の半径は (2・2cos36゚)(√3)/2=(2√3)cos36゚ です。

 次に、1辺が2の正五角形の面積をS,外接円の半径をR とすれば、

 2Rsin36゚=2 だから、R=1/sin36゚ 、

 S=5・(1/2)R2sin72゚=5R2sin36゚cos36゚=5cos36゚/sin36゚ です。

 正十二面体の中心と各面の距離を h とすれば、

 h2={(2√3)cos36゚}2-R2=12cos236゚-1/sin236゚ です。

 ここで、 sin36゚={√(10-2√5)}/4 ,cos36゚=(√5+1)/4 だから、

 sin236゚=(5-√5)/8 ,cos236゚=(3+√5)/8 となって、

 (Sh)2=25(cos236゚/sin236゚)(12cos236゚-1/sin236゚)

  =25{(3+√5)/(5-√5)}{3(3+√5)/2-8/(5-√5)}=25(3+√5){3(3+√5)(5-√5)/2-8}/(5-√5)2

  =25(3+√5)(7+3√5)/(5-√5)2=25・4(9+4√5)/(5-√5)2=100(√5+2)2/(5-√5)2 となり、

 求める体積は、

 12・(1/3)Sh=4・10(√5+2)/(5-√5)=2(√5+2)(5+√5)=2(15+7√5) です。


☆ 30+14√5=2(15+7√5)=61.30495…… です。

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Comments 16

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古い人  
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真夏の太陽によく映えますね。

見事な向日葵ですよ。
青い空をバックに綺麗に咲いてますね。
ナイス

樹☆  
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おはようございます。
夏って感じです。同じ方向で凛と咲く姿。。
青空がまぶしい。ナイスです

ニリンソウ  
No title

こんな青空待っています
今日も雨・・ラジオ体操は出来たけど8時頃から
土砂降りになっています
もしかしたら新潟に夏は来ないのかなんて

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
真っ青な空によく映えてますね(o^-^o)
ナイス!

tsuyoshik1942  
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「解答1」でした。
正12面体の体積と言うより、底辺が正方形の等辺寄棟屋根の体積を求めた気がしますが、おかげで、正12面体構造の一端を知ることが出来ました。

ひとりしずか  
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太陽が微笑みかけているような・・
空の色、花びらの色がキレイ!
ナイス☆

スモークマン  
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グーテンターク ^^
これは屋根型の体積の求め方がよくわからず...断念 ^^;
つくづく美しい立体ですね☆
黄金比が絡んでるからなんだろか...^^...Orz~

さっちゃんこ  
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青空一杯の向日葵
とても奇麗で素晴しいですネ
花弁がアンバランスなところが面白いですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
やはり夏はヒマワリですね。
青空を意識して撮りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
夏に似合う花ですね。
青空のもと、暑さをもろともせずに咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
新潟の梅雨もようやく明けそうですね。
「夏は来ない」と思えるほどの雨、災害がないことを願います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
青い空が背景にあると高い花は引き立ちます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
正十二面体は面白い形ですね。
屋根形の高さが辺の 1/2 になるのも綺麗だと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
太陽を小さくしたような花です。
やはり夏に似合う花ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
私も美しい立体だと思います。
黄金比が絡むからというのは、頷けます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ヒマワリは形もいいと思いますが、
青空と花の色のコントラストが綺麗です。