[答618] 扇形の折り返し

[答618] 扇形の折り返し


　図は、半径 1 ，中心角 96ﾟ の扇形OABを、Oが弧AB上になるように、Bを通る線分で折ったものです。

　折り目と半径OAの交点をCとするとき OC＝？


[解答1]

　BCで折り返して、Oが弧ABに重なった点をPとします。

　OP＝OB＝BP だから、△OPB は正三角形で、∠OBP＝60ﾟ 、∠OBC＝30ﾟ 、∠OCB＝54ﾟ となって、

　正弦定理より、OC/sin30ﾟ＝OB/sin54ﾟ 、OC＝sin30ﾟ/sin54ﾟ 、

　https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-976.html より、sin54ﾟ＝(√5＋1)/4＝1/(√5－1) 、

　OC＝(1/2)(√5－1)＝(√5－1)/2 になります。


[解答2] 三角比を避けて

　BCで折り返して、Oが弧ABに重なった点をPとします。

　OP＝OB＝BP だから、△OPB は正三角形で、∠BOP＝60ﾟ になります。

　△COP において、CO＝CP だから、∠COP＝∠CPO＝36ﾟ 、∠PCA＝72ﾟ で、

　△OAP において、OA＝OP，∠AOP＝36ﾟ だから、∠OAP＝∠OPA＝72ﾟ で、

　△PCA において、∠PCA＝∠PAC だから、PC＝PA です。

　OC＝CP＝PA＝x とおけば、PCが ∠OPAの二等分線になるから、

　OP：PA＝OC：CA 、1：x＝x：(1－x) 、x²＝1－x 、x²＋x－1＝0 、

　0＜x＜1 に注意して、OC＝x＝(－1＋√5)/2 になります。

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