[答618] 扇形の折り返し
[答618] 扇形の折り返し
図は、半径 1 ,中心角 96゚ の扇形OABを、Oが弧AB上になるように、Bを通る線分で折ったものです。
折り目と半径OAの交点をCとするとき OC=?
[解答1]
BCで折り返して、Oが弧ABに重なった点をPとします。
OP=OB=BP だから、△OPB は正三角形で、∠OBP=60゚ 、∠OBC=30゚ 、∠OCB=54゚ となって、
正弦定理より、OC/sin30゚=OB/sin54゚ 、OC=sin30゚/sin54゚ 、
https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-976.html より、sin54゚=(√5+1)/4=1/(√5-1) 、
OC=(1/2)(√5-1)=(√5-1)/2 になります。
[解答2] 三角比を避けて
BCで折り返して、Oが弧ABに重なった点をPとします。
OP=OB=BP だから、△OPB は正三角形で、∠BOP=60゚ になります。
△COP において、CO=CP だから、∠COP=∠CPO=36゚ 、∠PCA=72゚ で、
△OAP において、OA=OP,∠AOP=36゚ だから、∠OAP=∠OPA=72゚ で、
△PCA において、∠PCA=∠PAC だから、PC=PA です。
OC=CP=PA=x とおけば、PCが ∠OPAの二等分線になるから、
OP:PA=OC:CA 、1:x=x:(1-x) 、x2=1-x 、x2+x-1=0 、
0<x<1 に注意して、OC=x=(-1+√5)/2 になります。
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