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[答619] 辺の本数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答619] 辺の本数


 図は1辺の長さが 1 の方眼 4×3=12 個のすべてに1本か2本の対角線を描いて、

 全部で 34個の直角二等辺三角形に分けたもので、

 複数の直角二等辺三角形に共通な頂点や辺でも 1個,1本と数えると、 

 直角二等辺三角形の頂点は全部で 25個あり、辺は全部で 58本です。

 このように、長方形状に並んだ1辺の長さが 1 の方眼のすべてに1本か2本の対角線を描いて、

 全部で 396個の直角二等辺三角形に分けるとき、直角二等辺三角形の頂点が全部で 224個であれば、

 辺は全部で何本?


[解答1]

 長方形の辺の長さを m,n (m≧n)、2本の対角線を入れる方眼を k 個(k≦mn)とすれば、

 直角二等辺三角形は 2mn+2k 個、

 頂点は (m+1)(n+1)+k=mn+m+n+1+k 個、

 辺は m(n+1)+n(m+1)+mn+3k=3mn+m+n+3k 本です。

 よって、2mn+2k=396 ,mn+m+n+1+k=224 、mn+k=198 ,m+n=25 となって、

 辺は 3mn+m+n+3k=3・198+25=619 本です。

 直接計算すれば、3mn+m+n+3k=(2mn+2k)+(mn+m+n+1+k)-1=396+224-1=619 本です。

☆ mn+k=198 ,m+n=25 を満たすのは

 (m,n,k)=(13,12,42),(14,11,44),……,(20,5,98) の8通りです。


[解答2]

 左下図のように、辺を共有するように三角形を1つずつ塗って、塗った三角形について、

 ピンクの三角形のように既に塗ってある部分と1辺を共有するように塗るとき、

 直角二等辺三角形は 1 個、頂点は 1 個、辺は 2 本増え、

 橙色の三角形のように既に塗ってある部分と2辺を共有するように塗るとき、

 直角二等辺三角形は 1 個、頂点は 0 個、辺は 1 本増えます。

 従って、(直角二等辺三角形の個数)+(頂点の個数)-(辺の本数) は一定になります。

 この値は最初の1個の直角二等辺三角形が塗られた状態では 1+3-3=1 だから、

 396+224-(辺の本数)=1 、(辺の本数)=619 です。


[解答3]

 右下図のように、同相なドーム形をつくります。これに底面をつけると、

 オイラーの多面体定理 (面の数)+(頂点の数)-(辺の数)=2 が成り立つので、

 (396+1)+224-(辺の本数)=2 、(辺の本数)=619 です。

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Comments 17

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古い人  
No title

お盆の仏様にお供えする蓮の花綺麗ですね。

今年は少し早く開花して花が少ない感じですね。
でも綺麗に咲いてますね。
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
世の中には時として理不尽で理解し合えないことが
あります。こころの奥の想いはわからず・・
でも・・ちゃんとお釈迦さまが見ててくださるんだと。。
蓮の花見てたらなんだかほっとします。。
ナイスです

ニリンソウ  
No title

蓮にも種類があるんでしょうね
優しい色ですね

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
今年は早くから ブログで長く楽しませていただいてます(o^-^o)
ほんと、やさしい色です♪ナイス!

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

ピンクの 優しい 蓮を見ると心安らかになります
ないす

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解答3はブラボーですね☆
ちょいとした発想/応用/閃きなんだけど...大きな跳躍 ♪
わたしも...平面から立体へジャンプしたかったなぁ ^^;v
but...平面のままのオイラーの公式でもいいような?...Orz~

さっちゃんこ  
No title

今日も蓮の花が綺麗ですね
睡蓮を栽培されているところに鉢植えのはすがありましたが 既に花は終わり種になっていました
綺麗な蓮の花 見せて頂きありがとうございます

ナイス♪

たけちゃん  
No title

スモークマンさんの言われる「平面のままのオイラーの公式」と
「オイラーの多面体定理」は同じものですね.
ヤドカリさんがしておられる,底面をつける説明が簡明だと思いますが,
元の平面のままで考えることもできます.
以下,(…の数)は,平面図形での数を表すことにして,平面図形の裏表を考えれば,
2*(面の数)+(2*(頂点の数)-(外周の頂点の数))-(2*(辺の数)-(外周の辺の数))=2
であり,(外周の頂点の数)=(外周の辺の数)から
(面の数)+(頂点の数)-(辺の数)=1を得ます.

ウィキペディアでは,
「オイラーの公式」ではe^(iθ)に関する公式しかとりあげていないようです.

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
たけちゃんさんの説明の意味わかりましたぁ Orz~
but...オイラーの多面体定理から...それを平面に射影しても変わらないはずだから=底面が1枚減るだけなので...or...一面だけ穴があいた立体と考えられるので...右辺の2が-1されると考えて...(やどかりさんの逆バージョンに過ぎませんけど...Orz...)
(面の数)+(頂点の数)-(辺の数)=1
が成り立つはずですよね ^^
and...
オイラーの定理とピックの定理が似てると思い調べてみると...
オイラーの定理を使って証明されてるサイト見つめましたぁ♪
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai/kadai9kaitou.html

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このハスは早咲きのハスで、もう咲いていませんが、
下から見上げるように撮れたので、お盆の終わりに使いました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このハスは大賀ハスという古代蓮です。
お釈迦さまも見ておられたかも知れませんね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
ハスの種類も多いですね。
このハスは大賀ハスという古代蓮です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
ハスもこの時期、種もたくさん見られます。
もうハスの時期も終わりに近づいてきましたね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ハスのピンクは、仰る通り、優しい色ですね。
こころ安らぐ色です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速の、そして再度のコメントを有難う御座います。
[解答3]からの発想で、問題を作りました。
さも、意味ありげに直角二等辺三角形にしただけです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このハスももう咲いていませんが、下から見上げて撮りましたので、
天空をイメージして載せました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
(面の数)+(頂点の数)-(辺の数)=1
が、そんな方法でも求められることは思いつきませんでした。