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[答620] 3元連立方程式

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答620] 3元連立方程式


 次の3つの方程式すべてを満たす実数の組 (x,y,z)=?

 xz+y-2=0 ……(1) yz-x-8z+6=0 ……(2) x2+y2-4x-8y=0 ……(3)


[解答1]

 (1)より xz=-(y-2) ,(2)より x-6=z(y-8) 、辺々乗じて x(x-6)z=-(y-2)(y-8)z 、

 よって、z=0 または x(x-6)=-(y-2)(y-8) になります。

 z=0 のとき、(1)より y=2 ,(2)より x=6 これは (3)を満たすから、(x,y,z)=(6,2,0) です。

 x(x-6)=-(y-2)(y-8) のとき、x2+y2-6x-10y+16=0 ……(4)

 (3)-(4) より、2x+2y-16=0 、y=-x+8 ……(5)

 (5)を(3)に代入して、x2+(-x+8)2-4x-8(-x+8)=0 、x=0,6 、

 x=0 のとき (5)より y=8 、これは(1)を満たしません。

 x=6 のとき (5)より y=2 、(1)より z=0 、これは(2)を満たすから、(x,y,z)=(6,2,0) です。

 結局、(x,y,z)=(6,2,0) だけが答です。


[解答2]

 見やすく z=a として xy平面上で考えれば、

 (1)は ax+(y-2)=0 、これは点(0,2)を通る、x=0 以外の直線を表し、

 (2)は -(x-6)+a(y-8)=0 、これは点(6,8)を通る、y=8 以外の直線を表します。

 また、(1)(2)は垂直なので、この交点の軌跡は、

 (0,8)を除く、(0,2),(6,8)を直径の両端とする円です。

 すなわち、(0,8)を除く、(0,8),(6,2)を直径の両端とする円です。

 よって、この軌跡と(3)の交点が求める(x,y)で、(3)は (0,8),(6,2)の両方を通る円だから、

 ゆえに、(x,y)=(6,2) で、(1)(2)より、z=0 、(x,y,z)=(6,2,0) です。

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Comments 14

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アキチャン  
No title

おはようございます。
今日のお花はバッタさんと一緒ですね(o^-^o)
鮮やかな色で素敵です♪ナイス!

ニリンソウ  
No title

フシグロセンノウでしょうか!
夏の太陽のような色です

ナイス

古い人  
No title

今日の花は何ですか。

フシグロセンノウ似良く似ていますね。
此のフシグロセンノウは丁度此の時期に咲いてきますね。
独特の色をした花は山の中でもよく目に付き綺麗ですね。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解答2は、Aha !!
目からまた鱗がポロリ☆
視点を変えると鮮やかに解けるものですね☆
だから、算数/数学は面白い♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます!(^^)!

オレンジ色で美しい花ですね

暑い夏 こうした元気色は 良いですね

バッタちゃん 花かまないでネ ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます。。
今日のお花はなぁに?
きれいな色あいです。。正面から撮られて
恥かしがってるのかな?ナイスです

さっちゃんこ  
No title

こんにちは今日の花 余り育てた記憶がないので
名前が判りませんが 綺麗なオレンジ目をひきますね

バッタの姿も可愛いですね
ナイス♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
偶然にバッタが写りました。
橙色が暖かそうというか、暑そうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難う御座います。
仰る通り、フシグロセンノウです。
きちんと節が見えるように撮るべきだったと思います。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、山道でよく目立つ花ですね。
これは山道で葉ありませんが、よく目立っていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答2]をもとに問題を作りました。
円周の1点だけを除くことを問題にしました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
オレンジ色が鮮やかな花です。
バッタは意識しませんでしたが、偶然に写りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花はフシグロセンノウです。
茎の節の所が黒いので、実物を見ればすぐに分かります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花はフシグロセンノウという山野草です。
こちらでは時々見かけるのですが、そちらに無いかも知れません。