[答622] もとの自然数の値

[答622] もとの自然数の値


　ある自然数Nについて、

　 －N＋2＋4＋6＋8＋…… と、左から順に はじめて正になるまで計算すれば 100になり、

　 －N＋3＋5＋7＋9＋…… と、左から順に はじめて正になるまで計算すれば 20になります。

　このとき、N＝？


[解答1]

　B＝－N＋3＋5＋7＋9＋……＋(2k＋1)＝20 とします。

　A＝－N＋2＋4＋6＋8＋……＋2k とすれば、A＜B なので、A＝100 になりません。

　A＝－N＋2＋4＋6＋8＋……＋2k＋(2k＋2) とすれば、A＞B なので、

　A＝－N＋2＋4＋6＋8＋……＋2k＋(2k＋2)＝100 です。

　A－B＝(2－3)＋(4－5)＋(6－7)＋(8－9)＋……＋{2k－(2k＋1)}＋(2k＋2)＝80 、

　－k＋(2k＋2)＝80 、k＝78 です。

　よって、A＝－N＋2＋4＋6＋8＋……＋156＋158＝100 、－N＋(2＋158)･79/2＝100 、

　N＝6220 になります。


[解答2]

　左図のように、2＋4＋6＋8＋…… は、縦 n，横 n－1 の長方形の面積で表され、

　右図のように、3＋5＋7＋9＋…… は、縦 n，横 n－2 の長方形の面積で表されます。

　ピンクの部分の面積を 100，20 とすれば、縦の長さは 100－20＝80 です。

　青と水色の部分の面積が N だから、

　左図において、N＝80･79－100＝6220 になります。

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