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[答623] 半球を含む最小の円錐

ヤドカリ

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[答623] 半球を含む最小の円錐


 図のような、半径が 1 の半球を含む直円錐のうち、体積が最小なものの底面の半径は? 高さは?


[解答1]

 底面の半径を r (r>1),高さを h (h>1)とすれば、体積 V は V=(π/3)r2h です。

 直角三角形の面積より、

 (1/2)√(r2+h2)・1=(1/2)rh 、r2+h2=r2h2 、r2=h2/(h2-1) 、

 V=(π/3)r2h=(π/3)h3/(h2-1) になります。

 dV/dh=(π/3){3h2(h2-1)-h3・2h}/(h2-1)2

  =(π/3)(h4-3h2)/(h2-1)2=(π/3)h2(h2-3)/(h2-1)2

 1<h<√3 のとき dV/dh<0 ,√3<h のとき dV/dh>0 だから、h=√3 のとき Vは最小になり、

 このとき、r2=h2/(h2-1)=3/(3-1)=6/4 、r=(√6)/2 です。


[解答2]

 底面の半径を r ,高さを h とすれば、体積 V は V=πr2h/3 です。

 直角三角形の面積より、

 (1/2)√(r2+h2)・1=(1/2)rh 、r2+h2=r2h2 、1/h2+1/r2=1 、2/h2+1/r2+1/r2=2 になります。

 相加・相乗平均の関係により、

 (2/h2+1/r2+1/r2)/3≧{(2/h2)(1/r2)(1/r2)}1/3

 (2/3)3≧2/(h2r4) 、h2r4≧2/(8/27) 、r2h≧(3√3)/2 、V=πr2h/3≧(√3)π/2 になります。

 等号が成り立つのは、2/h2=1/r2 のときだから、

 1/h2+1/r2=1 より、3/h2=1 、h2=3 、r2=3/2 のときです。

 従って、底面の半径 r=(√6)/2 ,高さ h=√3 のときです。

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Comments 19

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古い人  
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今日の花は純白の中に綺麗な赤が目立ちますね。

此の仲間も色も形も様々な花が楽しめますね。

ナイス

ニリンソウ  
No title

これもアメリカフヨウ?
ムクゲにもこんなのありですね、日の丸です

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
むくげ?葉っぱが大きそうだから・・やっぱり芙蓉の花?
お水が飲みたいって。。
真っ白な花はそれだけでいい。。ナイスです

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
フヨウの花が見事にですね
真っ白な花弁に花芯の赤が綺麗ですね
ナイス♪

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」の手法がありそうなこと、事実、それを示唆するリコメを拝見したので、その方向での思考を試みたのですが出来ませんでした。
前に、このサイトで何回か勉強し、その都度、分かったような気がしていたのですが、まだ、身についておりませんでした。

自分は、母線の傾きを(k)と置き、r=1/sin(k)、h=1/sin(k)より
V*(3/π)=(1/sin(k)^2)*(1/cos(k))=1/((1-cos(k)^2)*cos(k))=1/(cos(k)-cos(k)^3)
以下、cos(k)=xと考え、0<x<1の範囲での(x-x^3)の最大値を求めました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも相加だろうと思うもわからず...^^;
コツがいりそうだけど...そのコツいまだつかめず...
たとえば...
>2/h^2+1/r^2+1/r^2=2
を、
1/h^2+1/r^2=1
で考えちゃぁ違ってくる...^^;;
半径の関与は高さの2乗分だから...2個に分ければいいって感じかなぁ...?...
tsuyoshikさんの方法もシンプルね☆
ちなみに...h=1/cos(k) ですね ^^
Orz~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントを有難う御座います。
中央だけが赤い、白のアメリカフヨウです。
中央の赤が目立ちました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
よく見るムクゲと同じような配色のアメリカフヨウです。
アメリカの日の丸でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これもアメリカフヨウです。
白くて大きい花で、迫力もありました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
やはり大きな花は見ごたえがあります。
花芯の赤が目立ちました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
どの文字で微分するかで何通りか解き方があると思いますが、
私はできるだけ√や三角関数を使わない単純な解答にしました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
1/h²+1/r²=1 を 2/h²+1/r²+1/r²=2 にすると旨くいきますね。
このブログでも何回か使っているはずです。

アキチャン  
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こんばんわ。
今年はとうとう撮らなかったけどf(^。^;
大きなお花できれいですよね(o^-^o)ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
アメリカフヨウの花は大きいですね。
今年は夏の異常な暑さに、なかなか撮りに行けませんでしたね。

こっこちゃん  
No title

こんばんは !(^^)!

白は 清楚でeですね
花芯の 赤が良いですね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
同じ種類の花でも私は白が好きです。
清楚に感じます。

ヤドカリ  
No title

> 2013/8/26(月) 午後 11:09の内緒様
了解しました。

ひとりしずか  
No title

日本の国旗の色ですネ(笑)
純白が清々しい~!
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントを有難う御座います。
アメリカフヨウと名付けられている日本の国旗のような花です。
白い部分が多いので清々しいですね。