[答624] 垂線で２等分

[答624] 垂線で２等分


　AB＝10，BC＝8 である△ABCの 辺AB上の端点A，B以外に点Pをとって、

　辺BCにおろした垂線の足をHとします。

　PHが △ABCの周囲の長さも面積も二等分するとき、PH＝？


[解答1]

　AC＝2x，BP＝a，BH＝b として、まず ACの長さを求めます。

　△PBH と 四角形APHC の 周囲の長さが等しいので、a＋b＝10－a＋8－b＋2x 、a＋b＝x＋9 で、

　△PBH と 四角形APHC の 面積が等しいので、ab＝10･8/2 、ab＝40 です。

　余弦定理より、cosB＝(10²＋8²－4x²)/(2･10･8) 、b/a＝(41－x²)/40 です。

　ab＝40，b/a＝(41－x²)/40 より、b²＝41－x²，a²＝1600/(41－x²) です。

　a＋b＝x＋9 を２乗して、a²＋2ab＋b²＝x²＋18x＋81 だから、

　1600/(41－x²)＋2･40＋41－x²＝x²＋18x＋81 、800/(41－x²)＝x²＋9x－20 、

　800＝(x²＋9x－20)(41－x²) 、x⁴＋9x³－61x²－369x＋1620＝0 、

　(x－5)(x－4)(x＋9)²＝0 、0＜x＜5 だから、x＝4 (AC＝8) です。

　よって、b²＝41－x²＝25，a²＝1600/(41－x²)＝64 、PH＝√(a²－b²)＝√(64－25)＝√39 です。


☆ △ABCが二等辺三角形のとき、すなわち AC＝10，8 、x＝5，4 のとき成り立つことを考慮すると

　４次方程式の因数分解は楽になります。

　方程式を解いて、△ABCが二等辺三角形のときだけ成り立つことが分かりました。　　


[解答2]

　BCの延長上に BH＝HQ を満たす点Qをとれば、PHは △PBQの周囲の長さも面積も二等分します。

　よって、△PAC＝△PQC となって、PC//AQ です。

　また、PA＋AC＝PQ＋QC だから、A，Q は P，C を焦点とする同一の楕円上で、

　直線PCに関して同じ側にあります。

　従って、台形CQAPは PCの垂直二等分線を対称軸とする等脚台形になり、

　△BCPは BP＝BC の ，△BQAは BA＝BQ の二等辺三角形です。

　よって、BP＝8 ，BH＝BQ/2＝BA/2＝5 となり、PH＝√(8²－5²)＝√39 です。

.