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[答624] 垂線で2等分

ヤドカリ

ヤドカリ



[答624] 垂線で2等分


 AB=10,BC=8 である△ABCの 辺AB上の端点A,B以外に点Pをとって、

 辺BCにおろした垂線の足をHとします。

 PHが △ABCの周囲の長さも面積も二等分するとき、PH=?


[解答1]

 AC=2x,BP=a,BH=b として、まず ACの長さを求めます。

 △PBH と 四角形APHC の 周囲の長さが等しいので、a+b=10-a+8-b+2x 、a+b=x+9 で、

 △PBH と 四角形APHC の 面積が等しいので、ab=10・8/2 、ab=40 です。

 余弦定理より、cosB=(102+82-4x2)/(2・10・8) 、b/a=(41-x2)/40 です。

 ab=40,b/a=(41-x2)/40 より、b2=41-x2,a2=1600/(41-x2) です。

 a+b=x+9 を2乗して、a2+2ab+b2=x2+18x+81 だから、

 1600/(41-x2)+2・40+41-x2=x2+18x+81 、800/(41-x2)=x2+9x-20 、

 800=(x2+9x-20)(41-x2) 、x4+9x3-61x2-369x+1620=0 、

 (x-5)(x-4)(x+9)2=0 、0<x<5 だから、x=4 (AC=8) です。

 よって、b2=41-x2=25,a2=1600/(41-x2)=64 、PH=√(a2-b2)=√(64-25)=√39 です。


☆ △ABCが二等辺三角形のとき、すなわち AC=10,8 、x=5,4 のとき成り立つことを考慮すると

 4次方程式の因数分解は楽になります。

 方程式を解いて、△ABCが二等辺三角形のときだけ成り立つことが分かりました。  


[解答2]

 BCの延長上に BH=HQ を満たす点Qをとれば、PHは △PBQの周囲の長さも面積も二等分します。

 よって、△PAC=△PQC となって、PC//AQ です。

 また、PA+AC=PQ+QC だから、A,Q は P,C を焦点とする同一の楕円上で、

 直線PCに関して同じ側にあります。

 従って、台形CQAPは PCの垂直二等分線を対称軸とする等脚台形になり、

 △BCPは BP=BC の ,△BQAは BA=BQ の二等辺三角形です。

 よって、BP=8 ,BH=BQ/2=BA/2=5 となり、PH=√(82-52)=√39 です。

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Comments 20

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古い人  
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斑入りの綺麗な初雪カズラですね。

此の時期彼方此方で善く見ますね。
葉の色も豊富で綺麗ですね。
キヨウチクトウ科でテイカズラ属ですね。
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
去年蓮の花を見に行った場所に
たくさん咲いてました。今年も咲いてるかな~
葉先がホワイトやピンクでとても可愛いです。
ナイスです

ニリンソウ  
No title

ハツユキカズラ年中葉を観賞するのにいいですね
夏の方が冬より綺麗だなと考えたら
新芽が活発に伸びるからだと思います

ナイス

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
解答2 !! 目が覚めました...☆☆☆
もやもやが吹っ飛びました♪
グラッチェ~Orz~

アキチャン  
No title

おはようございます。
ウチも、一番伸びていってます(o^-^o)
写真を撮ってあげなきゃとおもっています♪ナイス!

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
初雪カズラ 暑さが厳しい毎日ですが暑さに負けずに頑張ってくれていますね

暑さにも寒さにも負けず頑張っている姿 良いですね
ナイス♪

tsuyoshik1942  
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「解答2」、自分も「なーるほど!」です。自分は、

CからABへ垂線CH'を下ろした時、この垂線が△ABCの面積も周長も半分にするなら(BC=AC の二等辺三角形)、この△BCH'を裏返した△BPH(H'→H,C→P)が条件を充たすと考えました。
ただし、これが答の一つであることは確かですが、答がこれに限定されることの証明が出来ませんでした。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

見たことがあるような・・・
ないような・・・
お花ですか?花の咲かない植物かしら?

まだまだ暑い大阪なんでしょうね。
お体に気を付けて~
ナイス☆

ひとりしずか  
No title

近くの家の門の傍に植えられていて
葉の色が綺麗なので行き帰り目につきます
スクリュウのような形の白い花がさくんせすね~
花は見たことがないですが・・
葉を観賞する植物なんですネ
ナイス☆

こっこちゃん  
No title

こんばんは !(^^)!

ハツユキカズラ 年中元気ですが

夏の方が 美しい色になって楽しませてくれる
すずしさを味わえる 名前で~~ ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
葉の色が変わってくるので、新しい葉や古い葉が混じるとカラフルですね。
仰るようによく見かけます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
たくさんの葉が色とりどりで見映えのする植物ですね。
それだけに、写真にするときの距離をどうするかが難しいです。

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
新芽はピンクで花のようですね。
やはり、春や夏が綺麗です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
スッキリされたようですね。
計算も重要ですが、意味づけが楽しいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
そちらでも元気に育っているようですね。
長い間見られるものはついつい撮る機会を逃すものですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
暑さに負けない元気な植物はいいものですね。
特に、白が目立つのは、涼しさを感じます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
CA=CB のときは CからABへの垂線で二等分してできる三角形と
合同な三角形を作ればいいことは確かですが、
それだけに限ることを如何に示すかですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
葉が目立つのでよく見ますが、花は記憶にありません。
ところで、此方では、晴れた昨日から暑さが戻りました。
北海道は涼しそうですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
よく目立つ植物ですね。
私も花は見たことがありませんが、
多分、白い葉の中で見過ごしているのでしょう。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントを有難う御座います。
ハツユキカズラのカラフルな色がいいですね。
私も植物から元気を頂いています。