[答624] 垂線で2等分
[答624] 垂線で2等分
AB=10,BC=8 である△ABCの 辺AB上の端点A,B以外に点Pをとって、
辺BCにおろした垂線の足をHとします。
PHが △ABCの周囲の長さも面積も二等分するとき、PH=?
[解答1]
AC=2x,BP=a,BH=b として、まず ACの長さを求めます。
△PBH と 四角形APHC の 周囲の長さが等しいので、a+b=10-a+8-b+2x 、a+b=x+9 で、
△PBH と 四角形APHC の 面積が等しいので、ab=10・8/2 、ab=40 です。
余弦定理より、cosB=(102+82-4x2)/(2・10・8) 、b/a=(41-x2)/40 です。
ab=40,b/a=(41-x2)/40 より、b2=41-x2,a2=1600/(41-x2) です。
a+b=x+9 を2乗して、a2+2ab+b2=x2+18x+81 だから、
1600/(41-x2)+2・40+41-x2=x2+18x+81 、800/(41-x2)=x2+9x-20 、
800=(x2+9x-20)(41-x2) 、x4+9x3-61x2-369x+1620=0 、
(x-5)(x-4)(x+9)2=0 、0<x<5 だから、x=4 (AC=8) です。
よって、b2=41-x2=25,a2=1600/(41-x2)=64 、PH=√(a2-b2)=√(64-25)=√39 です。
☆ △ABCが二等辺三角形のとき、すなわち AC=10,8 、x=5,4 のとき成り立つことを考慮すると
4次方程式の因数分解は楽になります。
方程式を解いて、△ABCが二等辺三角形のときだけ成り立つことが分かりました。
[解答2]
BCの延長上に BH=HQ を満たす点Qをとれば、PHは △PBQの周囲の長さも面積も二等分します。
よって、△PAC=△PQC となって、PC//AQ です。
また、PA+AC=PQ+QC だから、A,Q は P,C を焦点とする同一の楕円上で、
直線PCに関して同じ側にあります。
従って、台形CQAPは PCの垂直二等分線を対称軸とする等脚台形になり、
△BCPは BP=BC の ,△BQAは BA=BQ の二等辺三角形です。
よって、BP=8 ,BH=BQ/2=BA/2=5 となり、PH=√(82-52)=√39 です。
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