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[答626] 正方形の辺の長さ

ヤドカリ

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[答626] 正方形の辺の長さ


 1辺が 7 の正方形ABCD があって、

 正方形DEFG を、頂点Cが辺EF上,頂点Bが対角線GEの延長上 にあるように描きます。

 このとき、正方形DEFG の1辺の長さは?


[解答1]

 複素平面上で、B(0),C(7),D(7+7i) とし、有向線分DE を -a-bi (a>0,b>0) で表せば、

 有向線分DG,EF は (-a-bi)i=b-ai で表されるから、E(7-a+(7-b)i),G(7+b+(7-a)i) です。

 有向線分CE は 7-a+(7-b)i-7=-a+(7-b)i で、有向線分EF は b-ai で表されるから、

 (-a):(7-b)=b:(-a) 、a2=7b-b2 、a2+b2=7b です。

 また、B,E,G が一直線上にあるから、

 (7-a):(7-b)=(7+b):(7-a) 、49-14a+a2=49-b2 、a2+b2=14a です。

 よって、7b=14a 、b=2a となって、a2+4a2=14a 、a=14/5 です。

 求める長さは、DE=|-a-bi|=√(a2+b2)=√(5a2)=a√5=(14√5)/5 です。


[解答2]

 四角形BCDEで、∠CDE+∠EBC+∠BCD=∠BED 、∠CDE+∠EBC+90゚=135゚ 、

 ∠CDE+∠EBC=45゚ です。

 ∠CDE=α,∠EBC=β とすれば α+β=45゚ です。

 DC と EG の交点を H とすれば、EH は ∠DEC の二等分線なので、DH:HC=DE:EC=1:tanα 、

 HC/DC=tanα/(1+tanα) 、また HC/DC=HC/BC=tanβ だから、

 tanα/(1+tanα)=tanβ 、tanα=tanβ+tanαtanβ になります。

 また、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=1 だから、tanα+tanβ=1-tanαtanβ 、

 tanα+tanβ+tanαtanβ=1 、2tanα=1 、tanα=1/2 、cosα=2/√5 です。

 よって、DE=CD・cosα=7・2/√5=14/√5 になります。


[解答3]

 △DEC≡△CPB≡△BQA≡△ARD となるように、正方形ABCD内に 点P,Q,R をとります。

 EC=PB で、△PBE∽△DEG だから、△PBEは直角二等辺三角形で PB=PE です。

 また、PB=EC だから、△DEC=△CPB=△BQA=△ARD=正方形EPQR 、

 DE=2EC だから、正方形DEFG=4△DEC=4・(正方形ABCD)/5 、

 1辺の長さはその平方根で、 DE=2・AB/√5=14/√5 です。


[解答4]

 ∠BED=∠CEB=135゚ ,∠EBD=45゚-∠EBC=∠ECB だから、△BED∽△CEB になり、

 BE/CE=ED/EB=BD/CB=√2 になります。

 BE/CE=√2 ,ED/EB=√2 を辺々乗じて、ED/CE=2 、CE=ED/2 になり、

 ED2+CE2=(5/4)ED2=49 、ED=14/√5 になります。


[解答5] たけちゃんさんの解答より

 ∠BGD=45゚=(1/2)∠BCDで,直線BDに関して C,G が同じ側にあるから,

 Gは Cを中心とし B,D を通る円上の点であり,CD=CG より,CはEFの中点.

 CE2+DE2=(5/4)DE2=49 より,DE=14/√5 .

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Comments 18

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ひとりしずか  
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こちらは曇天・・

青い空、浮かぶ白い雲
気持ちスカーっと晴れます(^^♪
ナイス☆

古い人  
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南国の景色ですね。

青い空に並木が吸い込まれそうですね。
ナイス

樹☆  
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おはようございます。
あたりは青の世界ですね。。暑さも忘れさせてくれます。
ワシントンヤシでしょうか。。すてきです

こっこちゃん  
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おはようございます!(^^)!

青空にワシントンパーニア こちらの 日々に
似てますね ただ ここ日々 青空見れないので
心地よく朝から 嬉しい眺めです ナイス☆

さっちゃんこ  
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おはようございます♪
ワシントニアパームのある風景
宮崎の青島バイパスを見ているようです

青い空と白い雲 そしてワシントニアパーム
いつ見ても素晴らしい風景ですね
ナイス♪

スモークマン  
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グーテンターク ^^
なるほどぉ~☆
甲乙つけがたい ^^ 奇麗な構造がまた発見されましたね♪
わたしゃ...
なかなか気付けず...複素数で...しかもまったりとしか解けず...^^; Orz...

tsuyoshik1942  
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洒落た解法がいろいろあるのですね!
自分は、これ等のいずれとも異なり、2本の補助線(BDとDからBGへの垂線)を引き、相似三角形を見つけ解きました。
答の算出過程は、左程手を焼くこともありませんでしたが、この問題のチャーミングポイント「C点がEFの中点になること」には気づいておりませんでした。

ニリンソウ  
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高い空 高い木
スカッと気持ちいいですね~こんな風景

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今日は此方もスッキリした天気ではありませんが、
天気が悪いので、空の綺麗な日に撮った写真を使いました。

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この夏は暑かったので、当方も南国そのものでした。
このごろ天気が悪いので、スッキリした青空が恋しいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ワシントンヤシをよくご存知ですね。
高い樹ですので、風景として撮るにはいいですが、花を撮る時には困ります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
日南海岸付近ではお馴染みの樹ですね。
私も其方で、台風で揺れているのを見たことがあります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難う御座います。
普通はワシントンヤシと呼ばれますが、
宮崎ではワシントニアパームが普通の呼び方だそうですね。
青島と同じようにすぐ近くに海があったらなぁ~。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]の図を見ていて問題が出来ました。
いろいろ解き方があるものですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
問題としては易しかったと思います。
このような問題は、より綺麗な解き方がないかを考えるのも楽しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難う御座います。
高い空と高い木を長居植物園で見て、撮りたくなりました。
空が綺麗で、樹も魅力的に見えました。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
長居公園に見えませんね。。
青空に映えてきれいです(o^-^o)ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
植物園の中にあります。
青空がワシントンヤシを引き立てていました。