[答626] 正方形の辺の長さ

[答626] 正方形の辺の長さ


　１辺が 7 の正方形ABCD があって、

　正方形DEFG を、頂点Cが辺EF上，頂点Bが対角線GEの延長上 にあるように描きます。

　このとき、正方形DEFG の１辺の長さは？


[解答1]

　複素平面上で、B(0)，C(7)，D(7＋7i) とし、有向線分DE を －a－bi (a＞0，b＞0) で表せば、

　有向線分DG，EF は (－a－bi)i＝b－ai で表されるから、E(7－a＋(7－b)i)，G(7＋b＋(7－a)i) です。

　有向線分CE は 7－a＋(7－b)i－7＝－a＋(7－b)i で、有向線分EF は b－ai で表されるから、

　(－a)：(7－b)＝b：(－a) 、a²＝7b－b² 、a²＋b²＝7b です。

　また、B，E，G が一直線上にあるから、

　(7－a)：(7－b)＝(7＋b)：(7－a) 、49－14a＋a²＝49－b² 、a²＋b²＝14a です。

　よって、7b＝14a 、b＝2a となって、a²＋4a²＝14a 、a＝14/5 です。

　求める長さは、DE＝|－a－bi|＝√(a²＋b²)＝√(5a²)＝a√5＝(14√5)/5 です。


[解答2]

　四角形BCDEで、∠CDE＋∠EBC＋∠BCD＝∠BED 、∠CDE＋∠EBC＋90ﾟ＝135ﾟ 、

　∠CDE＋∠EBC＝45ﾟ です。

　∠CDE＝α，∠EBC＝β とすれば α＋β＝45ﾟ です。

　DC と EG の交点を H とすれば、EH は ∠DEC の二等分線なので、DH：HC＝DE：EC＝1：tanα 、

　HC/DC＝tanα/(1＋tanα) 、また HC/DC＝HC/BC＝tanβ だから、

　tanα/(1＋tanα)＝tanβ 、tanα＝tanβ＋tanαtanβ になります。

　また、tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanαtanβ)＝1 だから、tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ 、

　tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1 、2tanα＝1 、tanα＝1/2 、cosα＝2/√5 です。

　よって、DE＝CD･cosα＝7･2/√5＝14/√5 になります。


[解答3]

　△DEC≡△CPB≡△BQA≡△ARD となるように、正方形ABCD内に 点P，Q，R をとります。

　EC＝PB で、△PBE∽△DEG だから、△PBEは直角二等辺三角形で PB＝PE です。

　また、PB＝EC だから、△DEC＝△CPB＝△BQA＝△ARD＝正方形EPQR 、

　DE＝2EC だから、正方形DEFG＝4△DEC＝4･(正方形ABCD)/5 、

　１辺の長さはその平方根で、 DE＝2･AB/√5＝14/√5 です。


[解答4]

　∠BED＝∠CEB＝135ﾟ ，∠EBD＝45ﾟ－∠EBC＝∠ECB だから、△BED∽△CEB になり、

　BE/CE＝ED/EB＝BD/CB＝√2 になります。

　BE/CE＝√2 ，ED/EB＝√2 を辺々乗じて、ED/CE＝2 、CE＝ED/2 になり、

　ED²＋CE²＝(5/4)ED²＝49 、ED＝14/√5 になります。


[解答5] たけちゃんさんの解答より

　∠BGD＝45ﾟ＝(1/2)∠BCDで，直線BDに関して C，G が同じ側にあるから，

　Gは Cを中心とし B，D を通る円上の点であり，CD＝CG より，CはEFの中点．

　CE²＋DE²＝(5/4)DE²＝49 より，DE＝14/√5 .

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